Um integrador com vazamento é a mesma coisa que um filtro passa-baixo?

A equação que governa um integrador com vazamento (de acordo com a Wikipedia pelo menos) é

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$ .

Um integrador com vazamento de tempo contínuo é, portanto, a mesma coisa que um filtro passa-baixo com constante de tempo $A$ , até algum dimensionamento da entrada?

O chamado integrador com vazamento é um filtro de primeira ordem com feedback. Vamos encontrar sua função de transferência, assumindo que a entrada seja e a saída y ( t ) :$x(t)$$y(t)$

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

onde indica a aplicação da transformada de Laplace . Avançando:$\mathcal{L}$

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

(aproveitando a propriedade da transformação de Laplace que , assumindo quey(0)=0).$\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$$y(0) = 0$

Este sistema, com a função de transferência , tem um único pólo em s = - Uma . Lembre-se de que sua resposta de frequência na frequência ω pode ser encontrada deixando s = j ω :$H(s)$$s = -A$$\omega$$s=j\omega$

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

Para obter uma visão aproximada dessa resposta, primeiro deixe :$\omega \to 0$

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

Assim, o ganho DC do sistema é inversamente proporcional ao fator de realimentação . Em seguida, deixe w → ∞ :$A$$w \to \infty$

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

A resposta de frequência do sistema, portanto, chega a zero para as altas frequências. Isso segue o protótipo aproximado de um filtro passa-baixo. Para responder sua outra pergunta em relação à constante de tempo, vale a pena conferir a resposta no domínio do tempo do sistema. Sua resposta ao impulso pode ser encontrada transformando inversamente a função de transferência:

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

onde é a função de passo Heaviside . Essa é uma transformação muito comum que geralmente pode ser encontrada em tabelas de transformadas de Laplace . Essa resposta ao impulso é uma função de decaimento exponencial , geralmente escrita no seguinte formato:$u(t)$

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

onde é definido como a constante de tempo da função. Portanto, no seu exemplo, a constante de tempo do sistema é τ = 1$\tau$ .$\tau = \frac{1}{A}$

A resposta de frequência é a mesma, sim, mas o aplicativo é diferente:

• Com um filtro passa-baixo, seu sinal está na banda passante. A frequência de corte do filtro é definida acima da frequência mais alta que você deseja manter em seu sinal.
• Com um integrador com vazamento, seu sinal está na faixa de parada. A frequência de corte do filtro é definida abaixo da frequência mais baixa no seu sinal.

Além disso, os integradores são sempre de primeira ordem, enquanto os filtros passa-baixo podem ser de qualquer ordem.