Sinto muito, esta é uma pergunta muito básica. Mas estou tendo dificuldade para entender como é possível.
Eu sei que a resposta ao impulso é a saída do sistema quando a sequência de impulsos é fornecida como entrada com as condições iniciais definidas como 0.
Escalar é aumentar a amplitude do sinal, ou seja, se eu multiplicar a entrada por 2, a saída também será multiplicada por 2.
O sinal com desvio de tempo é que, se eu atrasar a entrada, a saída também será atrasada pelo mesmo fator.
Agora, alguém pode ilustrar isso com um exemplo de como qualquer sequência pode ser decomposta em soma de cópias da resposta ao impulso, sinais redimensionados e com desvio de tempo?
Muito obrigado antecipadamente.
discrete-signals
sarbjit
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Respostas:
Uma interpretação da sua pergunta pode ser a seguinte:
A resposta é que um sistema com as propriedades 1 e 2 não possui necessariamente a propriedade de aditividade ou superposição. Se a propriedade de superposição também se mantiver, o sistema será chamado de sistema linear invariante no tempo. Mas essa é uma suposição adicional que você precisa fazer (ou provar).
Geralmente, homogeneidade e aditividade são combinadas na propriedade linearidade que diz que a resposta à entrada (ou seja, uma combinação linear de entradas e ) é (ou seja, a mesma combinação linear de saídas e ).α⋅x1(t)+β⋅x2(t) x1(t) x2(t) α⋅y1(t)+β⋅y2(t) y1(t) y2(t)
Alguns pontos que devem ser guardados no fundo da mente:
Um sistema pode ser linear sem ser invariável no tempo (por exemplo, um modulador , ou invariante no tempo sem ser linear (por exemplo, um circuito de lei quadradax(t)→x(t)cos(ωt) x(t)→[x(t)]2
Um sistema aditivo que produz saída em resposta à entrada e, portanto, parece ter a propriedade de escala não tem a propriedade de dimensionamento. Convença-se de que isso é verdade, tentando provar que a resposta a é . Em resumo, escala e aditividade são duas propriedades diferentes e um sistema que desfruta de uma delas não necessariamente desfruta da outra.y(t)+y(t)=2y(t) x(t)+x(t)=2x(t) 0.5x(t) 0.5y(t)
Uma segunda interpretação da sua pergunta pode ser a seguinte:
Essa é realmente uma preocupação legítima, mas, na verdade, a fórmula da convolução é muito bem-sucedida em ocultar o resultado de que a saída é a soma das versões em escala e com atraso de tempo da resposta ao impulso. O que está acontecendo é o seguinte.
Dividimos o sinal de entrada em uma soma de sinais de pulso unitários em escala. A resposta do sistema ao sinal de pulso da unidade é a resposta de impulso ou resposta de pulso e, pela propriedade de escala, o valor de entrada único ou, se você preferir cria uma respostax ⋯, 0, 0, 1, 0, 0,⋯
Da mesma forma, o valor de entrada único ou cria cria uma resposta Observe o atraso na resposta para . Podemos continuar mais nesse sentido, mas é melhor mudar para uma forma mais tabular e mostrar as várias saídas alinhadas corretamente no tempo. Nós temosx[1]
então você pode obter a resposta somando a ésima coluna para obter a amada fórmula de convolução que confunde gerações de estudantes porque a resposta ao impulso parece estar retrocedendo no tempo.n
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additivity
escaling
?Se considerarmos um sinal discreto, digamos
x [n] = {1,5,3}, com três impulsos em n = 0, 1 e 2 com amplitude 1, 5 e 3.
agora podemos escrever
x [n] = 1 * + 5 * + 5 *δ[n] δ[n−1] δ[n−2]
ou generalizamos,
x [n] =∑∞−∞x[k]δ(n−k)
Para sistemas invariantes no tempo linear, sabemos que,
para uma determinada entrada, x [n] = , uma resposta do sistema como h [n], saída =x[m]δ[n−m] ym[n] x[m]h[n−m]
Portanto, usando propriedade comutativa,
y [n] = =∑∞−∞yk[n] ∑∞−∞x[k]h[n−k]
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