Esse sinal é perfeitamente reconstrutível?

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A questão é a seguinte: insira a descrição da imagem aqui

Deixe-me fazer a análise:

Primeiro, no caminho abaixo: E o carregamento:

X1(z)=z1X(z)X2(z)=12{X1(z12)+X1(z12)}X3(z)=X2(z2)=12{X1(z)+X1(z)}=12{z1X(z)z1X(z)}X4(z)=zX3(z)=12{X(z)X(z)}
X6(z)=X5(z2)=12{X(z)+X(z)}

Portanto, o sinal reconstruído é:

X¯(z)=X4(z)+X6(z)=X(z)

Mas estou muito confuso que esse banco de filtros não satisfaça a reconstrução perfeita de acordo com os sistemas Multirate e bancos de filtros da PP V. na página 193:

(5.1.7)F0(z)=H1(z),F1(z)=H0(z)

Então, eu estou muito confuso. Quem poderia responder minha pergunta?

stander Qiu
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Respostas:

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Sim, o sinal é perfeitamente reconstruído. Considere o processo em cada estágio, como mostro usando o diagrama de blocos abaixo:

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Considere cada amostra do sinal em cada nó no diagrama (cada amostra é mostrada usando o índice de amostra no nó para cada linha):

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(Nota: Você vê a mesma forma de reconstrução no algoritmo FFT).

Vou tentar ilustrar como o aliasing é cancelado (abordando o comentário do MBaz):

Primeiro, considere a resposta de frequência de (e ). é a transformação z de uma amostra DELAY de 1 no domínio do tempo (consulte Como / por que a transformação e os atrasos unitários estão relacionados? ). A resposta de frequência de um atraso é de magnitude constante e fase linear (como veríamos com um cabo de comprimento fixo; frequências muito baixas atrasariam apenas uma fração de um ciclo, enquanto frequências mais altas atrasariam vários ciclos:z1z+1z1Z

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Especificamente para , como o atraso é de 1 amostra por ciclo, a amplitude será constante (1) e a fase será linear de 0 a para o eixo de frequência que vai de 0 à nossa taxa de amostragem . (E que é um avanço em vez de um atraso, será semelhante com a fase positiva versus a frequência:z12πz+1

Fase apenas mostrada abaixo (a magnitude é 1 para todas as frequências)

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Considere o seguinte espectro digital para ver o que acontece quando passamos pelo sistema apresentado pelo OP. (Observe que, ao lidar com sistemas com várias taxas e sistemas analógicos-digitais de sinal misto, isso me ajudou a visualizar o eixo de frequência de a , que mostro abaixo).+

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Agora observe a coisa bonita que acontece quando comparamos nosso espectro original com aquele após um atraso de unidade. Estou enfatizando que a fase em girou 180 ° e, em seguida, totalmente em 360 °, que volta a 0 ° em . Essa rotação é contínua desde a mudança de fase linear de 0 até a taxa de amostragem (o que eu tenho dificuldade em mostrar nesta imagem - eu ficaria eternamente grato se alguém pudesse me fazer um gráfico 3D mostrando o efeito espiral real com o espectro vermelho e azul artefatos desde que eu uso esse gráfico na minha classe e, como é preciso, leva muito tempo para explicar)Fs/2Fs

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Agora, reveja o que acontece com o espectro quando dizimamos por 2 (o apelido que o MBaz estava astutamente preocupado). Para mim, a analogia do aliasing que ocorre quando você faz a conversão analógica para digital me ajudou a ver intuitivamente esse processo (já que a dizimação é uma "conversão digital para digital". Esse comentário foi apenas para aqueles que já estão familiarizados com o aliasing no A / Processo D.):

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Por fim, revise o que acontece quando fazemos uma interpolação "Inserir zero". A interpolação de inserção zero mantém perfeitamente o espectro sem distorção, a não ser a imagem que agora se torna parte do nosso espectro digital primário. Isso ocorre porque uma inserção de zero é feita através da convolução de nossa forma de onda com a resposta da unidade de amostra (resposta ao impulso).

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Com esse histórico importante, vamos seguir o sistema fornecido pelo OP. Primeiro dizimamos nosso sinal de entrada em amostras pares e ímpares. Observe a rotação causada pelo atraso e, em seguida, o aliasing causado pela dizimação (como descrito acima, para visualizar realmente esse espectro corretamente após o atraso seria uma espiral em que o azul está exatamente 180 ° fora de fase no ponto só):fs/2

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As amostras pares e ímpares são então interpoladas por dois, inserindo-se zero e o caminho inferior é avançado em uma amostra (portanto, note que fazer isso não é um processo causal, acabaríamos com um "atraso parasitário" de uma amostra. para realmente implementar isso, seguindo o que foi feito no gráfico). Observe que cria uma espiral na direção oposta. O efeito combinado de [ , dizimado por 2, interpola por 2, ] deslocará a fase 180 ° para cada componente de frequência acima de em nosso espectro original, enquanto passa todas as frequências componente abaixoz+1z1z+1fs/2fs/2com mudança de fase de 0 ° (além de criar as imagens no centro do novo espectro). Assim, combinando (adicionando) os dois caminhos, o espectro original é recuperado!

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Nota: Você também pode subtrair os dois espectros para obter um espectro invertido! Observe que a adição e subtração é exatamente o que você faz com uma DFT de 2 pontos:

[1111][x1x2]=[y1y2]

Aprendemos que o aliasing pode arruinar catastroficamente nosso espectro e pensamos que, uma vez contaminados, não podemos separar a interferência. Esse seria certamente o caso aqui, se tivéssemos apenas um dos dois caminhos, mas o que está ocorrendo é que nosso segundo caminho está acompanhando nosso alias de tal maneira que, enquanto tivermos os dois caminhos, podemos cancelar construtivamente o interferência. Isso também fornece informações sobre os esquemas de detecção de multiusuários.

Dan Boschen
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o que você usa para desenhar diagramas, Dan?
22417 Robert Bristow-
talvez precisemos ser explícitos sobre o que os blocos de upsampling [ 2] fazem. eles preenchem com zero ou realizam reconstrução ideal com banda ilimitada?
22417 Robert bristow-johnson #
O nó Gem index=7deve ser x[7].
MBaz
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novamente figuras muito agradáveis! e esse foi o ponto de poder!
precisa
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Obrigado @Gilles, já tenho a maioria das ilustrações tão fáceis (e felizes) de compartilhar.
Dan Boschen 13/03/19
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Primeiro, a condição PP Vaidyanathan é suficiente, não necessária.

A parte superior mantém todas as amostras uniformes. A parte inferior converte as probabilidades em pares, mantém todos os (romances) pares e coloca os pares (romances) de volta ao seu antigo lugar. Portanto, os atrasos e intercalam exatamente os pares mantidos (em cima) e as probabilidades (em baixo).z1z+1

No PP Vaidyanathan, a Figura 5.1-1 corresponde ao seu diagrama com , , , , portantoH0(z)=1H1(z)=z1F0(z)=1F1(z)=z1

H0(z)F0(z)+H1(z)F1(z)=1+1zz1=0,

o que é bom.

Laurent Duval
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Obrigado pela sua resposta! A fórmula que você lista é a condição necessária e suficiente?
stander Qiu
Não, essa é apenas a "condição sem alias"
Laurent Duval