"A transformação de Fourier não pode medir duas fases na mesma frequência." Por que não?

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Eu li que a transformada de Fourier não pode distinguir componentes com a mesma frequência, mas com fases diferentes. Por exemplo, no Mathoverflow , ou xrayphysics , de onde obtive o título da minha pergunta: "A transformação de Fourier não pode medir duas fases na mesma frequência".

Por que isso é verdade matematicamente?

Matemática atordoada
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Você pode distinguir os componentes de, digamos ? Aposto que você não pode. sin(x)+sin(x+c)
Ilmari Karonen 5/08/19
O FT encontra componentes que podem ser adicionados para reconstruir um determinado sinal. Mas isso não significa que esses componentes de alguma forma estavam presentes no original. Existem infinitas maneiras diferentes pelas quais um determinado sinal poderia ter sido "construído", mas o sinal terá apenas um FT único.
Solomon Slow

Respostas:

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Isso ocorre porque a presença simultânea de dois sinais sinusoidais com a mesma frequência e fases diferentes é realmente equivalente a um único sinusoidal na mesma frequência, mas com uma nova fase e amplitude da seguinte maneira:

Que os dois componentes sinusodiais sejam somados da seguinte forma:

x(t)=acos(ω0t+ϕ)+bcos(ω0t+θ)

A partir de manipulações trigionométricas, pode ser demonstrado que:

x(t)=Acos(ω0t+Φ)

onde

A=a2+b2+2abcos(θϕ)
e
Φ=tan1(asin(ϕ)+bsin(θ)acos(ϕ)+bcos(θ))

portanto, você realmente tem um único senoidal (com uma nova fase e amplitude) e, portanto, nada para distinguir de fato ...

Fat32
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Meu cérebro deve estar desligado porque eu sigo as coisas trigonométricas, mas ainda há confusão circulando. O OP não foi o dia em que eles foram adicionados, o que justifica a etapa inicial em que você os adiciona? Em outras palavras, se pensarmos neles como dois sinais em que um começa "mais tarde" que o outro, mas não são adicionados, podemos diferenciá-los? Você precisa adicioná-los porque não pode ter dois pontos de dados em uma frequência? Obrigado.
marca de leeds
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@markleeds, o OP não disse que estava se referindo à transformação Fourier com janelas, e os links fornecidos indicam claramente a versão regular sem janelas. Na versão regular da análise de Fourier, os sinais são assumidos compostos como uma soma ponderada de sinusoidais com diferentes fases. A análise consiste em obter esses pesos e fases. A coleção deles é o espectro. Se você concatenar 2 sinusóides, essa análise global de Fourier também não poderá distinguir sua fase. No entanto, a transformação de Fourier com janelas foi projetada para esse trabalho ... não que ela seja notável.
Stefan Karlsson
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Como meu comentário sugeriu, pode ser informativo adicionar uma menção à transformação de Fourier com janelas. Se @ Fat32 tiver tempo, ele poderia mencionar a descontinuidade envolvida na concatenação de 2 sinusóides de frequência diferente e por que obtemos uma gama de frequências aparentemente aleatórias adicionadas à transformação global de Fourier, se tentarmos analisar isso.
Stefan Karlsson
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Oi @markleeds, como StefanKarlsson já indicou, a questão era sobre o caso de superposição (presença aditiva simultânea) desses dois sinusoidais da mesma frequência. Observe com muito cuidado que fase é um termo relativo e não absoluto; ou seja, é medido em relação a uma origem comum (tempo) escolhida, que é acima. A concatenação (como em Phase Shift Keying) permite discriminação em janelas, mas você ainda deve consultar uma origem de tempo comum para diferenciar as diferenças de fase. É por isso que os receptores PSK exigem rigorosa pulso syncronisation tempo ;-)t=0
Fat32
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@smsc parece repetir a mim mesmo, mas se a saída desses dois cabos for adicionada e analisada via FT, você verá uma única onda senoidal com uma fase e amplitude compostas ... Mas se você não as adicionar e analisar separadamente, então você será capaz de dizer suas fases relativas ... E isso não está relacionado à DFT.
Fat32
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Se você ler mais, até "A versão simplificada da transformação de Fourier que discutimos acima não pode explicar as mudanças de fase - como a transformação de Fourier realmente faz isso?" você notará uma explicação um pouco melhor, eles usam seno e cosseno.

" Matemática das mudanças de fase (opcional) .

Para ver como uma mudança de fase pode ser dividida em senos e cossenos não-deslocados, precisamos de uma identidade trigonométrica: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( b)

A * sen (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

Como você pode ver, a mudança de fase move parte da amplitude (energia) do sinal senoidal para um sinal senoidal, mas a frequência não muda. Se você usar a representação numérica complexa da transformada de Fourier, a mudança de fase simplesmente representa uma rotação do valor no plano complexo, com a magnitude inalterada. O fato de que as mudanças de fase apenas movem a amplitude de seno para cosseno significa que a adição de dois sinais com a mesma frequência e fase diferente gera um sinal com uma mudança de fase geral (média) nessa frequência - e nenhuma memória dos componentes ".

Na prática, é mais complicado, consulte " Técnicas de Fourier Parciais ", " Simetria de Conjugado de Fase " e " FOV e espaço-k ". No " Introdução à codificação de fase - I ", eles explicam:

"... quando duas ondas senoidais (A e B) com a mesma frequência, mas fases diferentes são adicionadas, o resultado é outra onda senoidal com a mesma frequência, mas com uma fase diferente. Quando as ondas senoidais estão próximas na fase, elas construtivamente interferem e, quando fora de fase, interferem destrutivamente.

... Olhando apenas para a soma deles, você simplesmente vê uma onda senoidal de certa frequência e fase. É impossível a partir desta única observação para resolver as contribuições individuais feitas por ondas A e B.

No entanto, ao fazer duas observações com A e B alteradas por diferentes fases, é possível determinar suas contribuições individuais observando apenas suas somas. Isso é ilustrado abaixo em uma imagem de RM, em que A e B são dois pixels na mesma coluna vertical que ressoam na mesma frequência codificada (ω). Especificamente, na Etapa 0 (linha de base, quando nenhum gradiente de codificação de fase foi aplicado), o sinal total de A&B em conjunto pode ser gravado: Então (t) = A sen ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

Aplique um gradiente de codificação de fase para girar a fase de fase ao longo do eixo vertical

...

A partir dessa única medida na Etapa 1, ainda não conhecemos as amplitudes individuais A e B, apenas sua diferença (A-B). Usando as informações da Etapa 0 e da Etapa 1 juntas, podemos extrair as contribuições de sinal exclusivas por álgebra simples:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A-B)] = A    e    ½ [So - S1] = ½ [(A + B) - (A-B)] = B

"

Caso contrário, ficaria assim (imagem A):

Efeito do SDPS na imagem PFI

PFI mostrando artefatos de vários algoritmos: (A) algoritmo básico, (B) algoritmo BAX, (C) algoritmo de preenchimento zero, (D) algoritmo básico usando dados que possuíam correção SDPS linear constante constante, ilustrando artefatos de SDPS de ordem superior.

Roubar
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ccos(ωt+ϕ)Re(ce(ωt+ϕ)i)Rec1cos(ωt+ϕ1)+c2cos(ωt+ϕ2)=Re(c1e(ωt+ϕ1)i+c2e(ωt+ϕ2)i)aeωtiRe(eωti(c1eϕ1i+c2eϕ2i))ceϕicϕ

Portanto, embora ambos os sinais afetem a magnitude da saída, um sinal adicional não afetará onde está o espaço de fase da saída.

Acumulação
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Eu gostaria de seguir o caminho de uma versão geométrica da pergunta, usando somas de círculos.

Senos e cossenos são "apenas" as partes reais e imaginárias dos cisoides ou exponenciais complexas (algumas referências podem ser encontradas em Como explico intuitivamente um exponencial complexo?) , Gráfico de oscilação 3D para um sinal analítico: saca-rolhas / espiral de Heyser , transformada de Fourier Identidades ).

sω,ϕ(t)=e2πi(ωt+ϕ)Re(sω,0(t))=cos(2πωt)Im(sω,π/2(t))=cos(2πωt)ω

Círculos harmônicos

a1sω,ϕ1(t)+a2sω,ϕ2(t)?

a1a2e2πiϕ1e2πiϕ2

sω,0(t)+asω,ϕ(t),

|a|<1

(1)e2πi(ωt)+ae2πi(ωt+ϕ)

e assim como:

(2)(1+ae2πiϕ)e2πi(ωt),

(1+ae2πiϕ)αe2πiφaO círculo de raio é como uma pequena roda giratória presa à válvula (como os círculos azul e vermelho apenas na figura acima). Agora, observamos o movimento de um ponto no perímetro da pequena roda.

1aα12

Em outras palavras, nem uma transformação de Fourier, nem um olho humano, podem distinguir componentes com a mesma frequência, mas com fases diferentes .

[[Adicionarei animações se encontrar a hora]]

Laurent Duval
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