Eu li que a transformada de Fourier não pode distinguir componentes com a mesma frequência, mas com fases diferentes. Por exemplo, no Mathoverflow , ou xrayphysics , de onde obtive o título da minha pergunta: "A transformação de Fourier não pode medir duas fases na mesma frequência".
Por que isso é verdade matematicamente?
fourier-transform
fourier
Matemática atordoada
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Respostas:
Isso ocorre porque a presença simultânea de dois sinais sinusoidais com a mesma frequência e fases diferentes é realmente equivalente a um único sinusoidal na mesma frequência, mas com uma nova fase e amplitude da seguinte maneira:
Que os dois componentes sinusodiais sejam somados da seguinte forma:
A partir de manipulações trigionométricas, pode ser demonstrado que:
ondeA=a2+b2+2abcos(θ−ϕ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ e
Φ=tan−1(asin(ϕ)+bsin(θ)acos(ϕ)+bcos(θ))
portanto, você realmente tem um único senoidal (com uma nova fase e amplitude) e, portanto, nada para distinguir de fato ...
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Se você ler mais, até "A versão simplificada da transformação de Fourier que discutimos acima não pode explicar as mudanças de fase - como a transformação de Fourier realmente faz isso?" você notará uma explicação um pouco melhor, eles usam seno e cosseno.
Na prática, é mais complicado, consulte " Técnicas de Fourier Parciais ", " Simetria de Conjugado de Fase " e " FOV e espaço-k ". No " Introdução à codificação de fase - I ", eles explicam:
Caso contrário, ficaria assim (imagem A):
PFI mostrando artefatos de vários algoritmos: (A) algoritmo básico, (B) algoritmo BAX, (C) algoritmo de preenchimento zero, (D) algoritmo básico usando dados que possuíam correção SDPS linear constante constante, ilustrando artefatos de SDPS de ordem superior.
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Portanto, embora ambos os sinais afetem a magnitude da saída, um sinal adicional não afetará onde está o espaço de fase da saída.
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Eu gostaria de seguir o caminho de uma versão geométrica da pergunta, usando somas de círculos.
Senos e cossenos são "apenas" as partes reais e imaginárias dos cisoides ou exponenciais complexas (algumas referências podem ser encontradas em Como explico intuitivamente um exponencial complexo?) , Gráfico de oscilação 3D para um sinal analítico: saca-rolhas / espiral de Heyser , transformada de Fourier Identidades ).
e assim como:
Em outras palavras, nem uma transformação de Fourier, nem um olho humano, podem distinguir componentes com a mesma frequência, mas com fases diferentes .
[[Adicionarei animações se encontrar a hora]]
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