Qual é a diferença entre a transformação wavelet de Gabor-Morlet e a transformação Q constante?

À primeira vista, a transformada Q-constante de Q e a transformada wavelet complexa de Gabor-Morlet parecem as mesmas. Ambas são representações de frequência de tempo, baseadas em filtros Q constantes, sinusóides em janelas, etc. Mas talvez haja uma diferença que eu esteja perdendo?

O Constant-Q Transform Toolbox para processamento de músicas diz:

CQT refere-se a uma representação de frequência de tempo em que os compartimentos de frequência são geometricamente espaçados e os fatores Q (relações entre as frequências centrais e as larguras de banda) de todos os compartimentos são iguais.

A análise de escala de tempo diz:

Ou seja, o computar CWT de um sinal utilizando o Morlet wavelet é o mesmo que o sinal que passa através de uma série de filtros passa-banda centrado em $f = \frac{5/2\pi}{a}$ com constante Q de$5/2\pi$.

Simplesmente falando, a transformação const-Q e a transformação de wavelet de Gabor-Morlet são apenas transformações de wavelet contínuas. Ou, mais precisamente, aproximações, pois sempre haverá problemas de discretização em aplicações reais.

Uma propriedade das transformadas wavelet é que elas são construídas na propriedade constante do fator Q ou, em outras palavras, em escala logarítmica. Gabor e Morlet são apenas dois nomes de uma função wavelet específica (exponenciais complexas com uma janela gaussiana) que é usada com mais frequência. A transformação CQ usa apenas outra função básica / wavelet e possui um nome especial, provavelmente por algum motivo histórico.

É importante notar que as várias wavelets que foram desenvolvidas oferecem diferentes decomposições dos sinais que são usadas para estudar. Wavelets específicas são escolhidas para revelar características de sinal específicas de uma maneira específica. Ao calcular os coeficientes da wavelet, você executa uma correlação da wavelet escolhida com o sinal de interesse; assim, a forma da wavelet determina a forma das características do sinal que são reveladas.

Algumas funções de wavelets foram "projetadas" para fornecer decomposições que podem se relacionar com decomposições de Fourier (na verdade, mais alinhadas com as decomposições de Fourier de curto prazo usadas para produzir espectrogramas de sinais). A wavelet de Morlet é um bom exemplo dessa função. Outras wavelets foram "projetadas" para identificar descontinuidades ou bordas de sinais. Eu já vi artigos que usam as funções de wafelet Daubechies para isso.

Pode ser útil fazer algumas pesquisas para ver como cada uma das funções da wavelet mencionadas está sendo usada na prática. Eu acho que isso lhe dará uma melhor compreensão de como as várias wavelets diferem.

A transformação Q constante não é uma transformação wavelet. A transformação Q constante é uma variação específica da transformada de Fourier de curto prazo, na qual os compartimentos de frequência são espaçados exponencialmente em vez de espaçados linearmente, como é o caso da transformada de Fourier discreta.

Veja: http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transform para obter detalhes.

Algumas transformações de wavelets também são consideradas transformações Q constantes, porque nas versões discretas das transformações, a escala da wavelet varia exponencialmente (a base é 2 neste caso). De acordo com o seguinte artigo da Universidade de Stanford ( https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html ):

Quando a wavelet mãe pode ser interpretada como um senoide com janela (como a wavelet de Morlet), a transformação wavelet pode ser interpretada como uma transformação Q-Fourier constante.12.5 Antes da teoria das wavelets, as transformações Q-Fourier constantes (como obtidas de um banco de filtro de terceira oitava clássico) não era fácil de inverter, porque os sinais básicos não eram ortogonais. Veja o Apêndice E para discussão relacionada.