Encontre o valor esperado usando CDF

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Vou começar dizendo que esse é um problema de lição de casa logo de cara. Passei algumas horas procurando como encontrar os valores esperados e concluí que não entendo nada.

Seja X o CDF F(x)=1xα,x1 .
Encontre E(X) para os valores de α para os quais E(X) existe.

Eu não tenho idéia de como começar isso. Como posso determinar quais valores de α existem? Também não sei o que fazer com o CDF (estou assumindo que isso significa Função de Distribuição Cumulativa). Existem fórmulas para encontrar o valor esperado quando você tem uma função de frequência ou densidade. A Wikipedia diz que o CDF de X pode ser definido em termos da função de densidade de probabilidade f seguinte maneira:

F(x)=xf(t)dt

Isto é tanto quanto eu cheguei. Para onde eu vou daqui?

EDIT: eu pretendia colocar x1 .

styfle
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Respostas:

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Editado para o comentário de probabilityislogic

Observe que neste caso, portanto a distribuição tem probabilidade 0 de ser menor que 1 , então x 1 , e você também precisará de α > 0 para um cdf crescente.F(1)=001x1α>0

Se você possui o cdf, deseja o anti-integral ou derivado que, com uma distribuição contínua como esta

f(x)=dF(x)dx

e no sentido inverso para x 1 .F(x)=1xf(t)dtx1

Então, para encontrar a expectativa que você precisa encontrar

E[X]=1xf(x)dx

desde que exista. Vou deixar o cálculo para você.

Henry
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3
@henry - , de modo que o suporte não pode ser inferior a 1 (tal como CDF é uma função não decrescente)F(1)=11α=11=0
probabilityislogic
@probabilityislogic: Você pode estar correto nos termos do livro. Vou mudar minha resposta.
Henry
Obrigado pela resposta. O que representa f (x)? A função densidade de probabilidade? A derivada do cdf é sempre f (x)?
styfle
1
é de fato a função de densidade de probabilidade. Se a CDF tem um derivado, em seguida, é a densidade, embora existam distribuições (por exemplo discreta) onde o CDF não têm um derivado em todos os lugaresf(x)
Henry
1
@styfle: Se ela existir, em seguida, , e da mesma forma para as expectativas de outras funções de x . E[X2]=1x2f(x)dxx
Henry
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O uso da função densidade não é necessário

Integrar 1 menos o CDF

Quando você tem uma variável aleatória que possui um suporte não negativo (ou seja, a variável possui densidade / probabilidade diferente de zero apenas para valores positivos), você pode usar a seguinte propriedade:X

E(X)=0(1FX(x))dx

Uma propriedade semelhante se aplica no caso de uma variável aleatória discreta.

Prova

Desde ,1FX(x)=P(Xx)=xfX(t)dt

0(1FX(x))dx=0P(Xx)dx=0xfX(t)dtdx

Em seguida, mude a ordem da integração:

=00tfX(t)dxdt=0[xfX(t)]0tdt=0tfX(t)dt

Reconhecendo que é uma variável binária, ou tendo a substituição simples t = x e d t = d x ,tt=xdt=dx

=0xfX(x)dx=E(X)

Atribuição

Usei a seção Fórmulas para casos especiais do artigo Valor esperado na Wikipedia para atualizar minha memória na prova. Essa seção também contém provas para o caso de variável aleatória discreta e também para o caso de que não existe função de densidade.

Firefeather
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1
+1 ótimo resultado: a integral do cdf é realmente simples; além disso, é aconselhável evitar derivativos sempre que possível (eles não são tão bem-comportados quanto as integrais;)). Adicional: usando o cdf para calcular a variação, veja aqui math.stackexchange.com/questions/1415366/…
loved.by.Jesus
2
Quando você altera a ordem da integração, como obtém os limites de integração?
Zaz
A prova padrão não assume que tenha uma densidade. X
precisa saber é o seguinte
@Zaz definimos os limites de integração para que a mesma parte do (t, x) espaço seja coberta. As restrições originais são x> 0 et> x. Não podemos ter os limites externos dependentes da variável interna, mas podemos definir a mesma região que t> 0 e 0 <x <t. Bons exemplos desse processo aqui: mathinsight.org/…
fredcallaway
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O resultado se estende ao ésimo momento de X também. Aqui está uma representação gráfica: kXenter image description here

StijnDeVuyst
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Eu acho que você realmente quer dizer , caso contrário, o CDF é vazio, pois F ( 1 ) = 1 - 1 - α = 1 - 1 = 0 .x1F(1)=11α=11=0

O que você "sabe" sobre os CDFs é que eles acabam se aproximando de zero quando o argumento diminui sem limites e acabam se aproximando de um como x . Eles também não diminuem, portanto isso significa 0 F ( y ) F ( x ) 1 para todos os y x .xx0F(y)F(x)1yx

Portanto, se conectarmos o CDF, obtemos:

01xα111xα0xα1>0x1.

A partir disso, concluímos que o suporte para é x 1 . Agora também exigimos lim x F ( x ) = 1, o que implica que α > 0xx1limxF(x)=1α>0

Para descobrir quais valores a expectativa existe, exigimos:

E(X)=1xdF(x)dxdx=α1xαdx

E essa última expressão mostra que, para que exista, devemos ter - α < - 1 , o que implica α > 1 . Isso pode ser facilmente estendido para determinar os valores de α para os quais existe o r- ésimo momento bruto E ( X r ) .E(X)α<1α>1αrE(Xr)

probabilityislogic
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(+1) Particularmente pelo reconhecimento de olhos afiados de que o suporte fornecido estava incorreto.
cardeal
Obrigado pela resposta. Eu consertei a pergunta. Eu pretendia colocar x> = 1. Como você soube diferenciar primeiro o cdf para obter a função de densidade?
styfle
@styfle - porque é isso que é um PDF sempre que o CDF é contínuo e diferenciável. Você pode ver isso observando como você definiu seu CDF. A diferenciação de uma integral apenas fornece o integrando quando o limite superior é o assunto da diferenciação.
probabilityislogic
1
@styfle - o PDF também pode ser visto como a probabilidade de um RV estar em um intervalo infinitesimal. Pr(x<X<x+dx)=F(x+dx)F(x)dF(x)dxdx=f(x)dxdx0
1

A resposta que exige mudança de ordem é desnecessariamente feia. Aqui está uma prova de 2 linhas mais elegante.

vocêdv=vocêv-vdvocê

Agora pegue dvocê=dx e v=1-F(x)

0[1F(x)]dx=[x(1F(x))]0+0xf(x)dx

=0+0xf(x)dx

=E[X]

chirag nagpal
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I think you mean to let du-dx so that u=x.
Michael R. Chernick