Vou começar dizendo que esse é um problema de lição de casa logo de cara. Passei algumas horas procurando como encontrar os valores esperados e concluí que não entendo nada.
Seja o CDF .
Encontre para os valores de para os quais existe.
Eu não tenho idéia de como começar isso. Como posso determinar quais valores de existem? Também não sei o que fazer com o CDF (estou assumindo que isso significa Função de Distribuição Cumulativa). Existem fórmulas para encontrar o valor esperado quando você tem uma função de frequência ou densidade. A Wikipedia diz que o CDF de pode ser definido em termos da função de densidade de probabilidade seguinte maneira:
Isto é tanto quanto eu cheguei. Para onde eu vou daqui?
EDIT: eu pretendia colocar .
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O uso da função densidade não é necessário
Integrar 1 menos o CDF
Quando você tem uma variável aleatória que possui um suporte não negativo (ou seja, a variável possui densidade / probabilidade diferente de zero apenas para valores positivos), você pode usar a seguinte propriedade:X
Uma propriedade semelhante se aplica no caso de uma variável aleatória discreta.
Prova
Desde ,1−FX(x)=P(X≥x)=∫∞xfX(t)dt
Em seguida, mude a ordem da integração:
Reconhecendo que é uma variável binária, ou tendo a substituição simples t = x e d t = d x ,t t=x dt=dx
Atribuição
Usei a seção Fórmulas para casos especiais do artigo Valor esperado na Wikipedia para atualizar minha memória na prova. Essa seção também contém provas para o caso de variável aleatória discreta e também para o caso de que não existe função de densidade.
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O resultado se estende ao ésimo momento de X também. Aqui está uma representação gráfica:k X
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Eu acho que você realmente quer dizer , caso contrário, o CDF é vazio, pois F ( 1 ) = 1 - 1 - α = 1 - 1 = 0 .x≥1 F(1)=1−1−α=1−1=0
O que você "sabe" sobre os CDFs é que eles acabam se aproximando de zero quando o argumento diminui sem limites e acabam se aproximando de um como x → ∞ . Eles também não diminuem, portanto isso significa 0 ≤ F ( y ) ≤ F ( x ) ≤ 1 para todos os y ≤ x .x x→∞ 0≤F(y)≤F(x)≤1 y≤x
Portanto, se conectarmos o CDF, obtemos:
A partir disso, concluímos que o suporte para é x ≥ 1 . Agora também exigimos lim x → ∞ F ( x ) = 1, o que implica que α > 0x x≥1 limx→∞F(x)=1 α>0
Para descobrir quais valores a expectativa existe, exigimos:
E essa última expressão mostra que, para que exista, devemos ter - α < - 1 , o que implica α > 1 . Isso pode ser facilmente estendido para determinar os valores de α para os quais existe o r- ésimo momento bruto E ( X r ) .E(X) −α<−1 α>1 α r E(Xr)
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A resposta que exige mudança de ordem é desnecessariamente feia. Aqui está uma prova de 2 linhas mais elegante.
Agora peguedu = dx e v = 1 - F( X )
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