Funções de geração de momento e transformadas de Fourier?

Uma função geradora de momentos é uma transformada de Fourier de uma função de densidade de probabilidade?

Em outras palavras, uma função geradora de momento é apenas a resolução espectral de uma distribuição de densidade de probabilidade de uma variável aleatória, ou seja, uma maneira equivalente de caracterizar uma função em termos de amplitude, fase e frequência, e não em termos de parâmetro?

Se sim, podemos dar uma interpretação física a esta besta?

Pergunto porque, na física estatística, uma função geradora cumulante , o logaritmo de uma função geradora de momentos, é uma quantidade aditiva que caracteriza um sistema físico. Se você pensa na energia como uma variável aleatória, sua função de geração cumulativa tem uma interpretação muito intuitiva como a disseminação de energia por todo o sistema. Existe uma interpretação intuitiva semelhante para a função geradora de momentos?

Eu entendo a utilidade matemática disso, mas não é apenas um conceito de truque, certamente há um significado por trás disso conceitualmente?

O MGF é

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

$t$$f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

$e^{itx}$$e^{tx}$

$e^{-tx}$$e^{tx}$