Que tipo de distribuição é ?

Que tipo de função é:

$f_X(x) = 2 \lambda \pi x e^{-\lambda \pi x ^2}$

Esta é uma distribuição comum? Estou tentando encontrar um intervalo de confiança de usando o estimador e estou lutando para provar se isso estimador possui Normalidade Assintótica.$\lambda$$\hat{\lambda}=\frac{n}{\pi \sum^n_{i=1} X^2_i}$

obrigado

É uma raiz quadrada da distribuição exponencial com taxa . Isso significa que, se , então .$\pi\lambda$$Y\sim\exp(\pi\lambda)$$\sqrt{Y}\sim f_X$

Como sua estimativa é de probabilidade máxima , deve ser assintoticamente normal. Isso segue imediatamente das propriedades das estimativas de máxima verossimilhança. Nesse caso em particular:

$$\sqrt{n}(\hat\lambda-\lambda)\to N(0,\lambda^2)$$

Desde a

$$E\frac{\partial^2}{\partial \lambda^2}\log f_X(X)=-\frac{1}{\lambda^2}.$$

Por que você se importa com assintóticos quando a resposta exata é tão simples (e exata)? Estou assumindo que você deseja normalidade assintótica para poder usar o tipo de intervalo de confiança$\mathrm{Est}\pm z_{\alpha}\mathrm{StdErr}$

Se você fizer a transformação de probabilidade , terá uma distribuição de amostragem exponencial (como @mpiktas mencionou):$Y_{i}=X_{i}^{2}$

$$\newcommand{\Gamma}{\mathrm{Gamma}} \newcommand{\MLE}{\mathrm{MLE}} \newcommand{\Pr}{\mathrm{Pr}} f_{Y_{i}}(y_{i})=f_{X_{i}}(\sqrt{y_{i}})|\frac{\partial\sqrt{y_{i}}}{\partial y_{i}}|=2 \lambda \pi \sqrt{y_{i}} \exp(-\lambda \pi \sqrt{y_{i}} ^2)\frac{1}{2\sqrt{y_{i}}}=\lambda\pi\exp(-\lambda\pi y_{i})$$

Portanto, a probabilidade conjunta de log em termos de se torna:$D\equiv\{y_{1},\dots,y_{N}\}$

$$\log[f(D|\lambda)]=N\log(\pi)+N\log(\lambda)-\lambda\pi\sum_{i=1}^{N}y_{i}$$

Agora, a única maneira pela qual os dados entram na análise é através do total (e o tamanho da amostra ). Agora é um cálculo da teoria de amostragem elementar mostrar que e ainda mais que . Podemos ainda fazer disso uma quantidade "essencial" removendo das equações (da mesma maneira que acabei de colocar nelas). E nós temos:$T_{N}=\sum_{i=1}^{N}y_{i}$$N$$T_{N}\sim \Gamma(N,\pi\lambda)$$\pi N^{-1}T_{N}\sim \Gamma(N,N\lambda)$$\lambda$$N$

$$\lambda\pi N^{-1}T_{N}=\frac{\lambda}{\hat{\lambda}_{\MLE}}\sim \Gamma(N,N)$$

Observe que agora temos uma distribuição que envolve o MLE e cuja distribuição amostral é independente do parâmetro . Agora, seu MLE é igual a e, portanto, escrevendo as quantidades e modo que o seguinte seja válido:$\lambda$$\frac{1}{\pi N^{-1}T_{N}}$$L_{\alpha}$$U_{\alpha}$

$$\Pr(L_{\alpha} < G < U_{\alpha})=1-\alpha\;\;\;\;\;\;\;G\sim \Gamma(N,N)$$

E então temos:

$$\Pr(L_{\alpha} < \frac{\lambda}{\hat{\lambda}_{\MLE}} < U_{\alpha})=\Pr(L_{\alpha}\hat{\lambda}_{\MLE} > \lambda > U_{\alpha}\hat{\lambda}_{\MLE})=1-\alpha$$

E você tem um intervalo de confiança exato para .$1-\alpha$$\lambda$

NOTA: A distribuição gama que estou usando é o estilo "precisão", para que a densidade semelhante a: $\Gamma(N,N)$

$$f_{\Gamma(N,N)}(g)=\frac{N^{N}}{\Gamma(N)}g^{N-1}\exp(-Ng)$$