Estou procurando algumas desigualdades de probabilidade para somas de variáveis aleatórias ilimitadas. Eu realmente aprecio isso se alguém puder me fornecer alguns pensamentos.
Meu problema é encontrar um limite superior exponencial acima da probabilidade de que a soma das variáveis aleatórias do iid ilimitadas, que são de fato a multiplicação de dois i Gaussian, exceda algum valor determinado, ou seja, , onde , e são gerados iid a partir de .
Eu tentei usar o limite de Chernoff usando a função de geração de momento (MGF), o limite derivado é dado por:
onde é o MGF de . Mas o limite não é tão apertado. A principal questão no meu problema é que as variáveis aleatórias são ilimitadas e, infelizmente, não posso usar o limite da desigualdade de Hoeffding.
Ficarei feliz se você me ajudar a encontrar um limite exponencial apertado.
Respostas:
Usando o limite de Chernoff, você sugeriu alguns que serão especificados posteriormente, que a segunda desigualdade ocorre graças a para qualquer . Agora pegue e , o lado direito se tornará que produz para qualquer .s≤1/(2σ2) - log ( 1 - x )
Outra via é aplicar diretamente as desigualdades de concentração, como a desigualdade de Hanson-Wright, ou desigualdades de concentração para o caos gaussiano da ordem 2, que abrange a variável aleatória em que você está interessado.
Abordagem mais simples sem usar a função de geração de momento
Tome por simplicidade (caso contrário, pode-se redimensionar dividindo porσ=1 σ2 ).
Escrever e . Você está solicitando limites superiores emv=(v1,...,vn)T w=(w1,...,wn)T P(vTw>ϵN) .
Seja. Em seguida, por independência de e é independente de com o distribuição com graus de liberdade.Z=wTv/∥v∥ Z∼N(0,1) v,w ∥v∥2 Z χ2 n
Por limites padrão em variáveis normais normais e aleatórias, A combinação com o limite de união fornece um limite superior em da forma .χ2 P(|Z|>ϵn/2−−−√)≤2exp(−ϵ2n/4),P(∥v∥>2n−−√)≤exp(−n(2–√−1)2/2). P(vTw>ϵN) 2exp(−ϵ2n/4)+exp(−n(2–√−1)2/2)
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O limite obtido é da ordem como . Eu não acho que você possa fazer muito melhor pelo general . Na página da Wikipedia sobre Variáveis do produto, a distribuição de w i v i é K 0 ( z ) / π onde K 0 é uma função de Bessel modificada. De (10.25.3) na lista de funções DLMF , K 0 ( t ) ∼ e - t / √e−ϵ ϵ→∞ ϵ wivi K0(z)/π K0 K0(t)∼e−t/t√ de modo que parax suficientemente grandeP(wivi>x)∼∫∞xe−t/t√dt que não lhe dará um limite sub-gaussiano.
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