Propagação de erro usando a série Taylor de 2ª ordem

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Estou lendo um texto, "Estatística Matemática e Análise de Dados", de John Rice. Estamos preocupados com a aproximação do valor esperado e variância da variável aleatória . Podemos calcular o valor e a variação esperados da variável aleatória e conhecemos a relação . Portanto, é possível aproximar o valor e a variação esperados de usando a expansão da série Taylor de sobre .YXY=g(X)YgμX

Na página 162, ele lista 3 equações.

  1. O valor esperado de usando a expansão da série Taylor de 1ª ordem. É: . Isso é referido posteriormente na minha pergunta como .YμYg(μX)E(Y1)

  2. A variação de usando a expansão da série Taylor de 1ª ordem. É: . Isso é referido posteriormente na minha pergunta como .YσY2σX2(g(μX))2Var(Y1)

  3. O valor esperado de usando a expansão da série Taylor de 2ª ordem. É . Isso é referido posteriormente na minha pergunta como E (Y_2) .YμYg(μX)+12σX2g(μX)E(Y2)

Observe que existem duas expressões diferentes para Y porque estamos usando duas ordens diferentes na expansão da série Taylor. As equações 1 e 2 referem-se a Y1=g(X)g(μX)+(XμX)g(μX) . A equação 3 refere-se a Y2=g(X)g(μX)+(XμX)g(μX)+12(XμX)2g(μX) .

Observe que especificamente a equação para Var(Y2) não é dada. Posteriormente, o autor parece usar a equação para a variação de Y1 (Equação 2), quando na verdade ele está se referindo ao valor esperado de Y2 (Equação 3). Isso parece implicar Var(Y2)=Var(Y1) .

Tentei calcular manualmente e estou obtendo uma expressão um pouco complicada. Aqui está o meu trabalho (parei porque no final estou obtendo termos na expectativa): Var(Y2)X3

Var(Y2)=E[(g(μX)+(XμX)a+12(XμX)2bg(μX)12σX2b)2]=E[((XμX)a+(12(XμX)212σX2)b)2]=E[(ca+(12c212σX2)b)2]=E[c2a2+ca(c2σX2)b+14(c2σX2)2b2]=E[(X22XμX+μX2)a2+(XμX)a((X22XμX+μX2)σX2)b+14((X22XμX+μX2)σX2)2b2]

Note-se que nas equações acima, , , e . O que é ?a=g(μX)b=g(μX)c=XμXVar(Y2)

Obrigado.

jrand
fonte
Por que você parou em ? Como a aproximação de segunda ordem é uma função quadrática de , sua variação geralmente envolve momentos de até . O terceiro momento pode ser zero, mas o quarto momento definitivamente aparecerá e não será cancelado por nada. X3XX22=4
whuber

Respostas:

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Supondo que , podemos derivar a variação aproximada de usando a expansão de segunda ordem de Taylor de sobre seguinte maneira:Y=g(X)Yg(X)μX=E[X]

Var[Y]=Var[g(X)]Var[g(μX)+g(μX)(XμX)+12g(μX)(XμX)2]=(g(μX))2σX2+14(g(μX))2Var[(XμX)2]+g(μX)g(μX)Cov[XμX,(XμX)2]=(g(μX))2σX2+14(g(μX))2E[(XμX)4σX4]+g(μX)g(μX)(E(X3)3μX(σX2+μX2)+2μX3)=(g(μX))2σX2+14(g(μX))2(E[X4]4μXE[X3]+6μX2(σX2+μX2)3μX4σX4)+g(μX)g(μX)(E(X3)3μX(σX2+μX2)+2μX3)

Como @whuber apontou nos comentários, este pode ser limpo um pouco, utilizando o terceiro e quarto momentos centrais da . Um momento central é definido como . Observe que . Usando essa nova notação, temos que Xμk=E[(XμX)k]σX2=μ2

Var[Y](g(μX))2σX2+g(μX)g(μX)μ3+14(g(μX))2(μ4σX4)
assumido normal
fonte
Essa é a abordagem correta, mas você não esqueceu de incluir a covariância entre e ? XμX(XμX)2
whuber
@whuber Sim, eu fiz. Obrigado por apontar isso. Vou editar isso em breve.
assumednormal
Você pode economizar alguns problemas escrevendo a resposta em termos do segundo, terceiro e quarto momentos centrais , , e . Você deve obter . σ2μ3μ4σ2g(μ)2+μ3g(μ)g(μ)+14(μ4σ4)g(μ)2
whuber
@jrand - Minhas desculpas. Eu não sabia que você tinha isso no seu post original. Não estou excluindo minha postagem, porque demorou um pouco para ser digitada.
assumednormal
@ Max, whuber: Obrigado pela resposta e explicação.
jrand