Suficiência ou Insuficiência

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Considere uma amostra aleatória que são as variáveis ​​aleatórias iid que . Verifique se é uma estatística suficiente para .{X1,X2,X3}XiBernoulli(p)p(0,1)T(X)=X1+2X2+X3p

Em primeiro lugar, como podemos encontrar a distribuição para ? Ou deve ser dividido em e isso seguirá ? Acho que não, porque note que todas as variáveis ​​não são independentes aqui.(X1+2X2+X3)X1+X2+X2+X3Bin(4,p)

Como alternativa, se eu empregar a condição de fatoração, considerando a pmf conjunta de então que .(X1,X2,X3)f(X1,X2,X3)=px1+x2+x3(1p)3(x1+x2+x3)=[pt(x)(1p)3t(x)]px2(1p)x2t(x)=x1+2x2+x3

Isso mostra que não é suficiente.T

Mas e se eu quiser seguir a definição e quiser aplicar para verificar se essa proporção é independente de ? Então eu preciso saber a distribuição de . Qual é então a distribuição de ?f(X|p)g(T(X)|p)pgT(X)=X1+2X2+X3

Landon Carter
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Dica: você não precisa conhecer a distribuição completa de . Considere, por exemplo, o caso : qual é a distribuição de probabilidade condicional de ? T(X)T(X)=2(X|T(X)=2)
whuber
Se então . Então que depende de , correto? T(X)=2(X1,X2,X3){(1,0,1),(0,1,0)}P(X|T(X)=2)=p2(1p)+p(1p)2=p(1p)p
Landon Carter
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Essa é a ideia certa - mas não vejo por que você está adicionando as duas probabilidades. não é um vetor ? (Se desejar, você pode usar o mesmo tipo de cálculo para encontrar a distribuição completa de (ele só pode atingir os valores ), mas isso não é mais necessário, é? ))XT(X)0,1,2,3,4
whuber
Okay, certo. Obrigado! Então, quando mostramos que essa razão não é independente de para pelo menos uma vez a amostra, estamos prontos! Obrigado. E FELIZ ANO NOVO :)p
Landon Carter
Sim é um vetor, mas mais importante é e a probabilidade . Por favor corrija-me se eu estiver errado. XX=(X1,X2,X3)P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))
Landon Carter

Respostas:

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Eu tive uma discussão com "whuber" e talvez tenha recebido uma dica (correta?) Para analisar qualquer ponto de amostra: avalie nesse ponto de amostra verifique se essa razão é independente do parâmetro, neste caso .P(X=x)P(T(X)=T(x))xp

Então, e . Portanto, avaliamos Agora,Devido à propriedade iid,Tambémx=(1,0,1)T(1,0,1)=2P(X=(1,0,1))P(T(X)=2)

T(X)=2 iff X{(1,0,1),(0,1,0)}.
P(X=(1,0,1))=p2(1p) and P(X=(0,1,0))=p(1p)2.
P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1p).

Portanto, que é claramente dependente de e, portanto, não é uma estatística suficiente.

P(X=(1,0,1))P(T(X)=2)=p2(1p)p(1p)=p
pT
Landon Carter
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