Por que

Uma sequência de estimadores $U_n$ para um parâmetro $\theta$ é assintoticamente normal se $\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$ . (fonte) Em seguida, chamamos $v$ a variação assintótica de $U_n$ . Se essa variância for igual aolimite Cramer-Rao, dizemos que o estimador / sequência é assintoticamente eficiente.

Pergunta: Por que usamos $\sqrt{n}$ em particular?

Eu sei que para a amostra média, essa escolha a normaliza. Mas como as definições acima se aplicam a mais do que a média da amostra, por que ainda optamos por normalizar por $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ . $\sqrt{n}$

estimation asymptotics efficiency sem noção
fonte

Para um bom estimador,

deve ter média

, o parâmetro sendo estimado e a variação de

deve convergir para

, ou seja, a distribuição de

deve estar convergindo para uma distribuição degenerada com um único átomo em

. Mas existem muitas maneiras diferentes pelas quais essa convergência pode ocorrer, por exemplo,

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n}

$U_n$

0

$0$

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n} \sim U (θ - 1 / n, θ + 1 / n)

$U_n \sim U(\theta-1/n,\theta+1/n)$

etc. Desejamos aplicar o soubriquetassintoticamente normalao último caso, mas não ao primeiro.

U_{n} \sim N (θ, v / n)

$U_n\sim N(\theta,v/n)$

Dilip Sarwate

Estimadores eficientes são assintoticamente normais. en.wikipedia.org/wiki/…

Khashaa

Esta questão poderia ser melhor intitulada como "normalidade assintótica" em vez de "eficiência assintótica"? Não está claro para mim onde a "eficiência" se torna um aspecto substantivo da questão, e não apenas o contexto em que a "normalidade assintótica" foi encontrada.

Silverfish

Basta verificar uma prova da normalidade assintótica do MLE! A raiz quadrada

é tornar um teorema do limite central aplicável a uma amostra média!

n

$n$

Megadeth

Respostas:

Não podemos escolher aqui. O fator "normalizador", em essência, é um fator "estabilizador de variância para algo finito", de modo que a expressão não chegue a zero ou ao infinito conforme o tamanho da amostra vá ao infinito, mas para manter uma distribuição no limite.

Portanto, tem que ser o que for em cada caso. É claro que é interessante que em muitos casos apareça que deve ser . (mas veja também o comentário do @ whuber abaixo). $\sqrt n$

Um exemplo padrão em que o fator de normalização deve ser , em vez de $n$ é quando temos um modelo $\sqrt n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}, y_{0} = 0, t = 1, . . ., T

$y_t = \beta y_{t-1} + u_t, \;\; y_0 = 0,\; t=1,...,T$

com ruído branco, e estimamos o desconhecido por Mínimos Quadrados Ordinários. $u_t$ $\beta$

Se isso acontecer, o valor verdadeiro do coeficiente é , o estimador OLS é consistente e converge no usual $|\beta|<1$ taxa . $\sqrt n$

Mas se o valor verdadeiro for $\beta=1$ (ou seja, na verdade, temos uma caminhada aleatória pura), o estimador OLS é consistente, mas convergirá "mais rápido", na taxa (às vezes é chamado de estimador "superconsistente" - desde , Eu acho, muitos estimadores convergem na taxa $n$ ) Neste caso, para obter a sua distribuição assintótica (não-normal), quetema escalapor(se adaptar apenas por $\sqrt n$
$(\hat \beta - \beta)$ $n$ a expressão irá para zero). Hamilton ch 17tem os detalhes. $\sqrt n$

Alecos Papadopoulos
fonte

Além disso, você poderia esclarecer o que está sendo estimado no modelo

(onde eu presumo que você quis dizer

e as observações estão inscritas em

etc.). Trata-se de que no modelo

o estimador OLS

converge na taxa

y_{t} = y_{t - 1} + u_{t}, u_{0} = 0

$y_t = y_{t-1}+u_t, u_0=0$

y_{0} = 0

$y_0=0$

1, 2,

$1, 2,$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

para

mas quando

convergência está na taxa

, ou é o caso que no modelo

a convergência está sempre na taxa

? Em resumo, qual é o significado da afirmação "e

, isto é, uma caminhada aleatória pura".

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

| β | < 1

$|\beta| < 1$

β = 1

$\beta=1$

n

$n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

n

$n$

β = 1

$\beta=1$

usar o seguinte código

@DilipSarwate Thanks. Atualizada. Eu acredito que está claro agora.

Alecos Papadopoulos

(+1) Pode ser interessante e instrutivo observar que a escolha de

(ou

ou o que for apropriado) não é exclusivo. Em seu lugar, você pode usarqualquerfunção

para a qual o valor limite de

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

é igual a unidade. É apenas nesse sentido mais amplo que

"tem que ser o que tem que ser".

f (n) / \sqrt{n}

$f(n)/\sqrt{n}$

f

$f$

whuber

@Khashaa O OP perguntou sobre a eficiência assintótica, mas, no processo, foi revelado que o OP pode ter uma impressão errada sobre os fatores de "normalização". Esta é uma questão mais fundamental, por isso escolhi abordar isso na minha resposta. Nada é dito na minha resposta sobre eficiência.

Alecos Papadopoulos

Talvez valha a pena mencionar na sua resposta que o caso com

vez de

n

$n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

You were on the right track with a sample mean variance intuition. Re-arrange the condition:

\sqrt{n} (U_{n} - θ) \to N (0, v)

$\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$

(U_{n} - θ) \to \frac{N (0, v)}{\sqrt{n}}

$(U_n - \theta) \to \frac{N(0,v)}{\sqrt{n}}$

U_{n} \to N (θ, \frac{v}{n})

$U_n \to N(\theta,\frac{v}{n})$

The last equation is informal. However, it's in some way more intuitive: you say that the deviation of $U_n$ from $\theta$ is becoming more like a normal distribution when $n$ increases. The variance is shrinking, but the shape becomes closer to normal distribution.

In math they don't define the convergence to the changing right hand side ( $n$ is varying). That's why the same idea is expressed as the original condition, that you gave. In which the right hand side is fixed, and the left hand side converges to it.

Aksakal
fonte

You could explain how you do the "re-arrangements". Like what properties you apply.

mavavilj