Número esperado de lançamentos até a primeira cabeça aparecer

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Suponha que uma moeda justa seja lançada repetidamente até que uma cabeça seja obtida pela primeira vez.

  • Qual é o número esperado de lançamentos que serão necessários?
  • Qual é o número esperado de caudas que serão obtidas antes da primeira cabeça ser obtida?
nicole900
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Este link tem as respostas para ambas as perguntas: en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution
swmo
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Se for uma pergunta de auto-estudo, adicione a tag.
Xian

Respostas:

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Isso pode ser respondido usando a distribuição geométrica da seguinte maneira:

O número de falhas k - 1 antes do primeiro sucesso (cabeças) com probabilidade de sucesso p ("cabeças") é dado por:

p(X=k)=(1p)k1p

sendo k o número total de lançamentos, incluindo as primeiras 'cabeças' que terminam o experimento.

E o valor esperado de X para um dado p é .1/p=2

A derivação do valor esperado pode ser encontrada aqui . Os últimos passos implícitos devem ser os seguintes:

a ser plugado na expressão:ddr11r=1(1r)2

. Comr=1-p, simplifica paraE(X)=p1px=1x rx=p1p r (ddr11r)=p1p r 1(1r)2r=1p

, justificando a sua utilização acima].E(X)=1p

Como alternativa, poderíamos usar a distribuição binomial negativa interpretada como o número de falhas antes do primeiro sucesso. A função de massa de probabilidade é dada como p (número de falhas, n , antes de atingir r sucessos | dada uma certa probabilidade, p , de sucesso em cada teste de Bernoulli):

p(n;r,p)=(n+r-1r-1)pr(1-p)n

A expectativa para o número de tentativas, n + r, é dada pela fórmula geral:

r(1-p)

Dadas as nossas conhecidas parâmetros: r = 1 e p = 0,5 ,

E(n+r;1,0.5)=r1p=110.5=2

Portanto, podemos esperar fazer dois lançamentos antes de começar a primeira cabeça, com o número esperado de caudas sendo .E(n+r)r=1

Podemos executar uma simulação de Monte Carlo para provar:

   set.seed(1)

p <- 1/2

reps <- 10000                         # Total number of simulations.

tosses_to_HEAD <- 0                   # Setting up an empty vector to add output to.

for (i in 1:reps) {
  head <- 0                           # Set the variable 'head' to 0 with every loop.
  counter <- 0                        # Same forlocal variable 'counter'.
  while (head == 0) {
    head <- head + rbinom(1, 1, p)    # Toss a coin and add to 'head'
    counter <- counter + 1            # Add 1 to 'counter'
  }
  tosses_to_HEAD[i] <- counter        # Append number in counter after getting heads.
}

mean(tosses_to_HEAD)
[1] 2.0097
Antoni Parellada
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1
G(p)
And the expected value of X for a given p is 1/p
Existe uma boa derivação em math.stackexchange.com/questions/235927/… Mas posso incluir o final dessa derivação na minha resposta.
Antoni Parellada
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0x

Escreva essas expectativas em seus respectivos tickets: estes são os valores dos tickets.

As três coisas que sabemos são:

  1. 0p

  2. x1p

  3. A expectativa desse sorteio único é, por definição, a soma dos valores ponderados por probabilidade em todos os tipos de tickets:

    p×0+(1p)×x=(1p)x.

x

x=1+(1p)x.

xx1


npnhpnnxn/hn/(h+1)n/(pn)x

Isso leva a uma maneira extremamente eficiente de simular a distribuição dos comprimentos dos jogos . Aqui está o Rcódigo. Ele registra "cabeças" como valores verdadeiros em uma matriz booleana e calcula os lançamentos entre valores verdadeiros sucessivos.

p <- 1/3                                           # Set the chance of heads
tosses <- runif(1e6) < p                           # Make a million tosses
sim <- diff(c(TRUE, which(tosses)))                # Compute game lengths
hist(sim, xlab="Game length", main="Distribution") # Graph their distribution
mean(sim)                                          # Report the average length

17set.seed(17)x

whuber
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Você poderia me ajudar a entender por que o "x" do jogo de desenho e o "x" na segunda equação representam a mesma coisa? Não tenho idéia de como você consegue a segunda equação. Muito obrigado.
Luz
@ Light A segunda equação é explicada no parágrafo anterior.
whuber
♦ Obrigado por sua resposta. Eu li a definição de x e o parágrafo que você disse várias vezes, mas ainda não entendo. Deixe-me dizer o meu entendimento e pls me ajudar a saber se eu entendo sth. Pelo meu entendimento, x é o número esperado "adicional" no jogo de bilhetes de desenho, que é um jogo diferente do jogo original, porque a expectativa (deixe-me chamá-lo de "E") do jogo de moedas inclui o primeiro lançamento. Na minha opinião, E deve ser "x + 1", mas não são a mesma coisa. Na equação, você fez x e E a mesma coisa que me deixa confuso. Obrigado.
Light
2

Seja X o número de lançamentos de moedas necessários até que uma cabeça seja obtida. Portanto, precisamos calcular E (X) (ou seja, valor esperado de X).

Podemos condicionar E (X) em qualquer que seja o nosso primeiro lançamento. Deixe E (X | H) denotar o número de lançamentos de moedas restantes, desde que eu tenha uma cabeça no primeiro lançamento. Da mesma forma, deixe E (X | T) denotar o número de lançamentos de moedas restantes, desde que eu tenha uma cauda no primeiro lançamento.

Pelo condicionamento da primeira etapa, temos

E(X)=12(1+E(X|H))+12(1+E(X|T))

E(X|H)

E(X|T)=E(X)

E(X)=12(1+0 0)+12(1+E(X))

=> E(X)=2

grijesh agrawal
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