A normalidade da articulação é uma condição necessária para que a soma das variáveis aleatórias normais seja normal?

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Nos comentários após esta minha resposta a uma pergunta relacionada, os Usuários ssdecontrol e Glen_b perguntaram se a normalidade conjunta de $X$ e é necessária para afirmar a normalidade da soma ? Essa normalidade das articulações é suficiente , é claro, bem conhecida. Essa questão suplementar não foi abordada lá e talvez valha a pena considerar por si só. $Y$ $X+Y$

Como normalidade articular implica normalidade marginal, pergunto

Existem variáveis aleatórias normais e $X$ $Y$ modo que $X+Y$ é uma variável aleatória normal, mas $X$ e não são variáveis aleatórias comuns em conjunto? $Y$

Se e não precisam ter distribuições normais, é fácil encontrar essas variáveis aleatórias normais. Um exemplo pode ser encontrado na minha resposta anterior (o link é fornecido acima). Acredito que a resposta à pergunta destacada acima seja Sim e publiquei (o que eu acho que é) um exemplo como resposta a essa pergunta. $X$ $Y$

probability normal-distribution distributions bivariate multivariate-normal Dilip Sarwate
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Como você deseja lidar com distribuições degeneradas? Por exemplo, se é um normal padrão e

, então a distribuição conjunta de

e

é uma distribuição normal degenerada e

é um normal padrão.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

precisa saber é o seguinte

@BrianBorchers

X

$X$ e

Y = - 2 X

$Y = -2X$ são variáveis aleatórias conjuntamente normais, embora a distribuição seja degenerada como você diz. A definição padrão de normalidade da articulação é que

X

$X$ e

Y

$Y$ são normais em conjunto se

a X + b Y

$aX+bY$ é normal para todas as opções de

(a, b)

$(a,b)$ . Aqui,

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$ é um caso degenerado que, no entanto, é chamado de variável aleatória normal como cortesia.

Dilip Sarwate

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Seja $U,V$ iid $N(0,1)$ .

Agora transforme $(U,V) \to (X,Y)$ seguinte maneira:

No primeiro quadrante (ie $U>0,V>0$ ), deixe $X=\max(U,V)$ e $Y = \min(U,V)$ .

Para os outros quadrantes, gire esse mapeamento sobre a origem.

A distribuição bivariada resultante é semelhante (vista de cima):

$\hspace{1.5 cm}$

- o roxo representa regiões com probabilidade dobrada e as regiões brancas são regiões sem probabilidade. Os círculos pretos são contornos de densidade constante (em qualquer lugar do círculo para , mas dentro de cada região colorida para ). $(U,V)$ $(X,Y)$

Por simetria, e são normais normais (olhando para baixo de uma linha vertical ou ao longo de uma linha horizontal, há um ponto púrpura para cada branco que podemos considerar como sendo movido pelo eixo que a linha horizontal ou vertical cruza) $X$ $Y$
mas claramente não são normais bivariados, e $(X,Y)$
que é (equivalentemente, olhe ao longo das linhas da constante e veja que temos simetria semelhante à que discutimos em 1., mas desta vez sobre linha) $X+Y = U+V$ $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

Glen_b -Reinstate Monica
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+1 e Aceitar; essa construção é muito melhor do que a da minha própria resposta!

precisa saber é o seguinte

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Considere variáveis aleatórias conjuntas contínuas com função de densidade articular $U, V, W$ ondeindica a função de densidade normal padrão.

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

É claro que e são variáveis aleatórias dependentes . Também está claro que elas não são variáveis aleatórias comuns em conjunto. No entanto, todos os três pares são variáveis aleatórias independentes em pares : de fato, variáveis aleatórias normais padrão independentes (e, portanto, variáveis aleatórias normais em conjunto em pares). Em suma, $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ são um exemplo de variáveis aleatórias normais normais independentes em pares, mas não mutuamente independentes. Veja esta minha resposta para mais detalhes.

Observe que a independência pareada nos dá que e são variáveis aleatórias normais com média zero e variação . Agora, vamos definir e observe que também é uma variável aleatória normal média zero com variação . Além disso, $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

e, portanto,

e

são variáveis aleatórias dependentes e correlacionadas.

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

e são variáveis aleatórias normais (correlacionadas) quenãosãonormais em conjunto,mas têm a propriedade de que sua soma é uma variável aleatória normal. $X$ $Y$ $X+Y$

Dito de outra forma, a normalidade conjunta é uma suficiente condição para afirmar a normalidade de uma soma de variáveis aleatórias normais, mas é não uma condição necessária.

Prova de que e não são conjuntamente normais $X$ $Y$
Como a transformação é linear, é fácil obter que $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ . Portanto, temos que $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$ Mas tem a propriedade de que seu valor é diferente de zero apenas quando exatamente um ou todos os três de seus argumentos não são negativos. Agora suponha que . Então, tem o valor

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, W) d W = \int_{- \infty}^{\infty} f_{você, V, W} (x - W, y + W, W) d W

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

para

e é

caso contrário. Então, para

,

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

Agora,

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - W) ϕ (y + W) ϕ (W) d W + \int_{0 0}^{x} 2 ϕ (x - W) ϕ (y + W) ϕ (W) d W . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

e expandindo para fora

e realizando algumas reorganizações dos integrandos em

, pode escrever

\begin{aligned} (x - W)^{2} + (y + W)^{2} + W^{2} & = 3 W^{2} - 2 W (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{W^{2} - 2 W (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} 4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$ com argumentos que são funções (diferentes) de ambos

x

$x$ e

y

$y$ . Portanto,

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$ não é uma densidade normal bivariada, embora ambos

X

$X$ e

Y

$Y$ são variáveis aleatórias normais e sua soma é uma variável aleatória normal.

Comentário: Normalidade comum de $X$ e $Y$ é suficiente para a normalidade de $X+Y$ mas também implica muito, muito mais: $aX+bY$ é normal para todas as opções de $(a,b)$ . Aqui precisamos $aX+bY$ normal por apenas três opções de $(a,b)$ , viz., $(1,0), (0,1), (1,1)$ onde os dois primeiros impõem a condição frequentemente ignorada (veja, por exemplo, a resposta $Y.H.$ ) que as densidades (marginais) de $X$ e $Y$ deve ter densidades normais, e o terceiro diz que a soma também deve ter uma densidade normal. Assim, pode ter variáveis aleatórias normais que são não em conjunto normal, mas cuja soma é normal, porque não importa o que acontece para outras opções de $(a,b)$ .

Dilip Sarwate
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