Expectativa do Máximo de Variáveis ​​de IID Gumbel

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Continuo lendo em revistas de economia sobre um resultado específico usado em modelos de utilidade aleatórios. Uma versão do resultado é: se Gumbel ( , então:ϵiiid,μ,1),i

E[maxi(δi+ϵi)]=μ+γ+ln(iexp{δi}),

onde γ0.52277 é a constante de Euler-Mascheroni. Eu verifiquei que isso faz sentido usando R, e faz. O CDF para a distribuição Gumbel (μ,1) é:

G(ϵi)=exp(exp((ϵiμ)))

Estou tentando encontrar uma prova disso e não tive sucesso. Eu tentei provar isso sozinho, mas não consigo passar por uma etapa específica.

Alguém pode me indicar uma prova disso? Caso contrário, talvez eu possa postar minha prova de tentativa até onde estou preso.

Jason
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Respostas:

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Agradeço o trabalho exibido na sua resposta: obrigado por essa contribuição. O objetivo deste post é fornecer uma demonstração mais simples. O valor da simplicidade é a revelação: podemos obter facilmente toda a distribuição do máximo, não apenas sua expectativa.


Ignore absorvendo-o no e assumindo que o tenha uma distribuição Gumbel . (Ou seja, substitua cada por e altere para .) Isso não altera a variável aleatóriaμδiϵi(0,1)ϵiϵiμδiδi+μ

X=maxi(δi+ϵi)=maxi((δi+μ)+(ϵiμ)).

A independência do implica para todo real que é o produto das chances individuais . Pegar logs e aplicar propriedades básicas de exponenciais produzϵixPr(Xx)Pr(δi+ϵix)

logPr(Xx)=logiPr(δi+ϵix)=ilogPr(ϵixδi)=ieδiex=exp(x+logieδi).

Este é o logaritmo do CDF de uma distribuição Gumbel com o parâmetro de localização Isso é,λ=logieδi.

X tem uma distribuição Gumbel .(logieδi,1)

Isso é muito mais informações do que o solicitado. A média dessa distribuição é implicaγ+λ,

E[X]=γ+logieδi,

QED.

whuber
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Acontece que um artigo da Econometrica de Kenneth Small e Harvey Rosen mostrou isso em 1981, mas em um contexto muito especializado, de modo que o resultado requer muita escavação, sem mencionar algum treinamento em economia. Decidi provar isso da maneira que achar mais acessível.

Prova : Seja J o número de alternativas. Dependendo dos valores do vetorϵ={ϵ1,...,ϵJ} , a função assume valores diferentes. Primeiro, foque nos valores de modo que . Ou seja, integraremos no conjunto :maxi(δi+ϵi)ϵmaxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1δ1+ϵ1M1{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j1}

EϵM1[maxi(δi+ϵi)]=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)[δ1+ϵ1δ2...δ1+ϵ1δJf(ϵ2)...f(ϵJ)dϵ2...dϵJ]dϵ1=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)(δ1+ϵ1δ2f(ϵ2)dϵ2)...(δ1+ϵ1δJf(ϵJ)dϵJ)dϵ1=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)F(δ1+ϵ1δ2)...F(δ1+ϵ1δJ)dϵ1

O termo acima é o primeiro de desses termos em . Especificamente,JE[maxi(δi+ϵi)]

E[maxi(δi+ϵi)]=iEϵMi[maxi(δi+ϵi)].

Agora aplicamos a forma funcional da distribuição Gumbel. Isto dá

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=(δi+ϵi)eμϵieeμϵijieeμϵi+δjδidϵi=(δi+ϵi)eμϵijeeμϵi+δjδidϵi=(δi+ϵi)eμϵiexp{jeμϵi+δjδi}dϵi=(δi+ϵi)eμϵiexp{eμϵijeδjδi}dϵi

onde a segunda etapa vem da coleta de um dos termos exponenciados no produto, junto com o fato de que δjδi=0 se .i=j

Agora definimos e fazemos a substituição , de modo que e . Observe que, conforme aproxima do infinito, aproxima de 0, e como aproxima do infinito negativo, aproxima do infinito. Dijeδjδix=Dieμϵidx=DieμϵidϵidxDi=eμϵidϵiϵi=μlog(xDi)ϵixϵix

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=0(δi+μlog[xDi])(1Di)exp{x}dx=1Di0(δi+μlog[xDi])exdx=δi+μDi0exdx1Di0log[x]exdx+log[Di]Di0exdx

A Função Gamma é definida como . Para valores de que são números inteiros positivos, isso é equivalente a, então . Além disso, sabe-se que a constante de Euler – Mascheroni satisfazΓ(t)=0xt1exdxtΓ(t)=(t1)!Γ(1)=0!=1γ0.57722

γ=0log[x]exdx.

A aplicação desses fatos dá

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=δi+μ+γ+log[Di]Di

Então somamos para obteri

E[maxi(δi+ϵi)]=iδi+μ+γ+log[Di]Di

Lembre-se de que . Observe que as probabilidades familiares de escolha do logit são inversas dos 's, ou seja, . Observe também que . Então nós temosDi=jeδjδi=jeδjeδiPi=eδijδjDiPi=1/DiiPi=1

E[maxi(δi+ϵi)]=iPi(δi+μ+γ+log[Di])=(μ+γ)iPi+iPiδi+iPilog[Di]=μ+γ+iPiδi+iPilog[jeδjeδi]=μ+γ+iPiδi+iPilog[jeδj]iPilog[eδi]=μ+γ+iPiδi+log[jeδj]iPiiPiδi=μ+γ+log[jexp{δj}].
QED
Jason
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Vinculei o que acredito ser o artigo a que você está se referindo, sem realmente examiná-lo para ter certeza; corrija se estiver errado.
Dougal 26/01
@ Jason Você sabe como provar o que é isso quando o máximo é condicional em um ser o máximo? Veja a pergunta aqui que não foi resolvida: stats.stackexchange.com/questions/260847/…
wolfsatthedoor