Intervalo de confiança do terceiro momento da distribuição normal

Como calcular o intervalo de confiança exato para o terceiro momento da distribuição normal ?$N(a, \sigma^2)$

Para encontrar um intervalo de confiança para essa quantidade, você precisará formar uma quantidade central que use o terceiro momento bruto como seu único parâmetro desconhecido. Pode não ser possível fazer exatamente isso, mas geralmente é possível obter algo que é uma quantidade aproximadamente essencial que pode ser usada para formar um intervalo de confiança aproximado. Para fazer isso, primeiro encontraremos a forma do terceiro momento bruto que está sendo estimado, depois construiremos um estimador de amostra desse momento e tentaremos usá-lo para construir uma quantidade quase dinâmica e um intervalo de confiança resultante.

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Qual é o terceiro momento bruto de uma distribuição normal? Tome como uma variável aleatória normal arbitrária e defina . O terceiro momento bruto de é:$X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2)$$Y = X-\mu \sim \text{N}(0, \sigma^2)$$X$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mu_3 \equiv \mathbb{E}(X^3) &= \mathbb{E}((\mu + Y)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(Y^3 + 3 \mu Y^2 + 3 \mu^2 Y + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \sigma^2 + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= 3 \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Este é o parâmetro que você está tentando estimar em sua análise.

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Estimador não tendencioso do terceiro momento bruto: Normalmente, estimaríamos o parâmetro da média com a média da amostra e o parâmetro da variância com a variação da amostra, mas, neste caso, queremos estimar uma função dessas coisas, e a substituição desses estimadores provavelmente levar a um estimador tendencioso. Começaremos tentando encontrar um estimador imparcial do terceiro momento bruto. Para fazer isso, começamos observando que:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}((\mu + \bar{Y}_n)^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{Y}_n^3 + 3 \mu \bar{Y}_n^2 + 3 \mu^2 \bar{Y}_n + \mu^3) \\[6pt] &= 0 + 3 \mu \frac{\sigma^2}{n} + 0 + \mu^3 \\[6pt] &= \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Sabemos pelo teorema de Cochran que a média da amostra e a variação da amostra dos dados normais são independentes e, portanto, também temos . Portanto, com base nesses resultados, podemos formar o estimador imparcial :$\mathbb{E}(\bar{X}_n S_n^2) = \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(S_n^2) = \mu \sigma^2$

$$\hat{\mu}_3 = \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3.$$

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Variação do estimador: Sabemos que o valor esperado desse estimador é igual ao terceiro momento bruto da distribuição (para ver isso, basta substituir as expressões de valor acima esperadas); no entanto, a variação do estimador é trabalhosa para derivar. Como resultados preliminares, temos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) &= \mathbb{V}(\bar{X}_n) \mathbb{V}(S^2) \\[6pt] &= \frac{1}{n} \sigma^2 \cdot \frac{2}{n-1} \sigma^4 \\[6pt] &= \frac{2}{n(n-1)} \sigma^6, \\[12pt] \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^6) - \mathbb{E}(\bar{X}_n^3)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big)^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{45}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{15}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) - \Big( \frac{9}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^4 \sigma^2 + \mu^6 \Big) \\[6pt] &= \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2, \\[12pt] \mathbb{C}(\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4 S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n S^2) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\bar{X}_n^4) \mathbb{E}(S^2) - \mathbb{E}(\bar{X}_n) \mathbb{E}(\bar{X}_n^3) \mathbb{E}(S^2) \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \mu \Big( \frac{3}{n} \mu \sigma^2 + \mu^3 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{6}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 - \Big( \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 + \mu^4 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \Big( \frac{3}{n^2} \sigma^4 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^2 \Big) \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^2} \sigma^6 + \frac{3}{n} \mu^2 \sigma^4. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Isso nos dá a variação:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{V}(\hat{\mu}_3) &= \mathbb{V} \Big( \frac{3(n-1)}{n} \cdot \bar{X}_n S^2 + \bar{X}_n^3 \Big) \\[6pt] &= \frac{9(n-1)^2}{n^2} \cdot \mathbb{V}(\bar{X}_n S^2) + \mathbb{V}(\bar{X}_n^3) + \frac{3(n-1)}{n} \cdot \mathbb{C} (\bar{X}_n S^2, \bar{X}_n^3) \\[6pt] &= \frac{18(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \Big( \frac{15}{n^3} \sigma^6 + \frac{36}{n^2} \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \mu^4 \sigma^2 \Big) + \Big( \frac{9(n-1)}{n^3} \sigma^6 + \frac{9(n-1)}{n^2} \mu^2 \sigma^4 \Big) \\[6pt] &= \frac{27n-12}{n^3} \cdot \sigma^6 + \frac{9n+27}{n^2} \cdot \mu^2 \sigma^4 + \frac{9}{n} \cdot \mu^4 \sigma^2 \\[6pt] &= \frac{3}{n^3} \Big[ (9n-4) \sigma^6 + (3n^2+9n) \mu^2 \sigma^4 + 3n^2 \mu^4 \sigma^2 \Big]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

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Formando um intervalo de confiança: A partir dos resultados acima, podemos obter um estimador imparcial para o terceiro momento bruto, com variação conhecida. A distribuição exata desse estimador é complicada e sua densidade não pode ser expressa em forma fechada. É possível formar uma quantidade estudada com esse estimador, aproximar sua distribuição e tratá-la como uma quantidade quase-pivotal para obter um intervalo de confiança aproximado. No entanto, esse não seria um intervalo de confiança exato.

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