Estimador imparcial do parâmetro de poisson

O número de acidentes por dia é uma variável aleatória de Poisson com o parâmetro ; em 10 dias escolhidos aleatoriamente, o número de acidentes foi observado como 1,0,1,1,2,0,2,0,0,1, o que será ser um estimador imparcial de ?$\lambda$$e^{\lambda}$

Tentei tentar desta maneira: Sabemos que , mas . Então, qual será o estimador imparcial necessário?$E(\bar{x})=\lambda=0.8$$E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$

Se , então, para . É difícil calcular$X\sim \text{Pois}(\lambda)$$P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$$k\geq 0$

E [ X n _

$$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$$ mas é muito mais fácil calcular , onde : Você pode provar isso por si mesmo - é um exercício fácil. Além disso, permitirei que você prove por si mesmo o seguinte: Se são iid como , então , portanto, Seja . Segue que$E[X^{\underline{n}}]$E [ X n _ ] = λ n . X 1 , ⋯ , X N$X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$ $$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$$ $X_1,\cdots, X_N$L = Σ i X i ~ Pois ( N λ ) E [ L n _ ] = ( N λ ) N = N N λ $\text{Pois}(\lambda)$$U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$Z n = U n _ / N $$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$$ $Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$

• X 1 … X $Z_n$ são funções das suas medidas , ,$X_1$$\dots$$X_N$
• $E[Z_n] = \lambda^n$ ,

Desde, podemos deduzir que$e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$

W=∑n≥0Zn/n! E[W]=eλWU∈N0Un_=0n>UZn=0n>

$$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$$ portanto, seu estimador imparcial é, ie, . No entanto, para computar , é necessário avaliar a uma soma que parece ser infinita, mas nota que , portanto, para . Segue que para , portanto, a soma é finita.$W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$$E[W] = e^\lambda$$W$$U\in \mathbb{N}_0$$U^\underline{n} = 0$$n>U$$Z_n = 0$$n>U$

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Podemos ver que, usando esse método, é possível encontrar o estimador imparcial para qualquer função de que possa ser expressa como .f ( λ ) = ∑ n ≥ 0 a n λ $\lambda$$f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$

Segue-se que . Queremos estimar . Como você diz, um estimador possível seria Usando a função geradora de momento , descobrimos que para que seja enviesado. Algumas suposições sugerem que $Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$$\theta=e^\lambda$

$$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$$ $Y$ $$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$$ $$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$$ $\hat\theta$ $$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$$ pode ser imparcial para a escolha adequada do fator de correção . Novamente, usando o mgf de , descobrimos que portanto, isso é imparcial se que leva a e como um estimador imparcial de .$a$$Y$ $$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$$ $10(e^a - 1) = 1$$a=\ln\frac{11}{10}$$\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$$\theta=e^\lambda$

Pelo teorema de Lehmann-Scheffé , como é uma estatística suficiente para , o estimador (uma função de ) é UMVUE para .$Y$$\lambda$$\theta^*$$Y$e λ$e^\lambda$