Valor esperado da razão máxima de n iid variáveis normais

Suponhamos que $X_1,...,X_n$ são iid de $N(\mu,\sigma^2)$ e deixe que $X_{(i)}$ denotam o $i$ -ésimo elemento mais pequeno a partir de $X_1,...,X_n$ . Como alguém seria capaz de limitar o máximo esperado da relação entre dois elementos consecutivos em $X_{(i)}$ ? Ou seja, como você pode calcular um limite superior em:

E [max_{Eu = 1 1, . . ., n - 1 1} (\frac{X_{(Eu + 1 1)}}{X_{(Eu)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

A literatura que eu pude encontrar é principalmente focada na razão entre duas variáveis aleatórias, o que resulta em uma distribuição de razão para a qual o pdf para duas distribuições normais não correlacionadas é fornecido aqui: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Enquanto isso me permitiria superar a proporção média esperada de variáveis, não consigo ver como generalizar esse conceito para encontrar a proporção máxima esperada de variáveis. $n$ $n$

expected-value order-statistics ratio maximum Máx.
fonte

Como o whuber observou abaixo, a expectativa da relação de duas estatísticas consecutivas de pedidos não converge. Mas se o fizesse, ou se você está interessado em sua diferença, dizem

... o problema deve, de facto, simplificar a encontrar a razão (ou a diferença, como o caso pode ser) dos dois estatísticas de ordem ie MAIORES

E [max_{Eu = 1 1, . . ., n - 1 1} (X_{(Eu + 1 1)} - X_{(Eu)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$

... apenas a partir da forma das caudas normais.

E [X_{(n)} - X_{(n - 1 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$

wolfies

Respostas:

A expectativa é indefinida.

Deixe a ser iid de acordo com qualquer distribuição , com a seguinte propriedade: existe um número positivo e uma positiva tal que $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

para todos os . Essa propriedade é verdadeira para qualquer distribuição contínua, como uma distribuição Normal, cuja densidade é contínua e diferente de zero em , para então , permitindo-nos tomar para valor qualquer fixo entre e . $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

Para simplificar a análise, também assumirei e , ambos verdadeiros para todas as distribuições normais. (O último pode ser garantido redimensionando se necessário. O primeiro é usado apenas para permitir uma simples subestimação de uma probabilidade.) $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

Seja e superestimamos a função de sobrevivência da razão como $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(Eu + 1 1)}}{X_{(Eu)}} > t) & = Pr (X_{(Eu + 1 1)} > t X_{(Eu)}) \\ > Pr (X_{(Eu + 1 1)} > 1 1, X_{(Eu)} \leq 1 1 / t) \\ > Pr (X_{(Eu + 1 1)} > 1 1, 1 1 / t \geq X_{(Eu)} > 0 0, 0 0 \geq X_{(Eu - 1 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

$n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - Eu, 1 1, Eu - 1 1}) (1 1 - F (1 1))^{n - Eu} (F (1 1 / t) - F (0 0)) F (0 0)^{Eu - 1 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

Quando , a desigualdade fornece um limite inferior para isso proporcional a , mostrando que $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

A função de sobrevivência de tem uma cauda comportando-se assintoticamente como : isto é, para alguns número positivo . $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

Por definição, a expectativa de qualquer variável aleatória é a expectativa de sua parte positiva mais a expectativa de sua parte negativa . Uma vez que a parte positiva da expectativa - se existir - é parte integrante da função de sobrevivência (de a ) e $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0 0}^{x} S (t) d t = \int_{0 0}^{x} (1 1 / t + o (1 1 / t)) d t \propto registro (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

a parte positiva da expectativa de diverge. $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

$-X_i$

whuber
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n = 3

$n = 3$

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