Valor esperado da razão máxima de n iid variáveis ​​normais

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Suponhamos que X1,...,Xn são iid de N(μ,σ2) e deixe que X(i) denotam o Eu -ésimo elemento mais pequeno a partir de X1 1,...,Xn . Como alguém seria capaz de limitar o máximo esperado da relação entre dois elementos consecutivos em X(Eu) ? Ou seja, como você pode calcular um limite superior em:

E[maxEu=1 1,...,n-1 1(X(Eu+1 1)X(Eu))]

A literatura que eu pude encontrar é principalmente focada na razão entre duas variáveis ​​aleatórias, o que resulta em uma distribuição de razão para a qual o pdf para duas distribuições normais não correlacionadas é fornecido aqui: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Enquanto isso me permitiria superar a proporção média esperada de variáveis, não consigo ver como generalizar esse conceito para encontrar a proporção máxima esperada de variáveis.nn

Máx.
fonte
Como o whuber observou abaixo, a expectativa da relação de duas estatísticas consecutivas de pedidos não converge. Mas se o fizesse, ou se você está interessado em sua diferença, dizem ... o problema deve, de facto, simplificar a encontrar a razão (ou a diferença, como o caso pode ser) dos dois estatísticas de ordem ie MAIORES E [ X ( n ) - X (
E[maxEu=1 1,...,n-1 1(X(Eu+1 1)-X(Eu))]
... apenas a partir da forma das caudas normais.
E[X(n)-X(n-1 1)]
wolfies

Respostas:

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A expectativa é indefinida.

Deixe a ser iid de acordo com qualquer distribuição F , com a seguinte propriedade: existe um número positivo h e uma positiva ε tal queXEuFhϵ

(1)F(x)F(0)hx

para todos os . Essa propriedade é verdadeira para qualquer distribuição contínua, como uma distribuição Normal, cuja densidade f é contínua e diferente de zero em 0 , para então F ( x ) - F ( 0 ) = f ( 0 ) x + o ( x ) , permitindo-nos tomar para h valor qualquer fixo entre 0 e f ( 0 ) .0<x<ϵf0F(x)F(0)=f(0)x+o(x)h0f(0)

Para simplificar a análise, também assumirei e 1 - F ( 1 ) > 0 , ambos verdadeiros para todas as distribuições normais. (O último pode ser garantido redimensionando F, se necessário. O primeiro é usado apenas para permitir uma simples subestimação de uma probabilidade.)F(0)>01F(1)>0F

Seja e superestimamos a função de sobrevivência da razão comot>1

Pr(X(Eu+1 1)X(Eu)>t)=Pr(X(Eu+1 1)>tX(Eu))>Pr(X(Eu+1 1)>1 1, X(Eu)1 1/t)>Pr(X(Eu+1 1)>1 1, 1 1/tX(Eu)>0 0, 0 0X(Eu-1 1)).

n-EuXj1 1(0 0,1 1/t]Eu-1 1F

(nn-Eu,1 1,Eu-1 1)(1 1-F(1 1))n-Eu(F(1 1/t)-F(0 0))F(0 0)Eu-1 1.

Quando , a desigualdade ( 1 ) fornece um limite inferior para isso proporcional a 1 / t , mostrando quet>1 1/ϵ(1 1)1 1/t

A função de sobrevivência de X ( i + 1 ) / X ( i ) tem uma cauda comportando-se assintoticamente como 1 / t : isto é, S ( t ) = a / t + o ( 1 / t ) para alguns número positivo a .S(t)X(Eu+1 1)/X(Eu)1 1/tS(t)=uma/t+o(1 1/t)uma

Por definição, a expectativa de qualquer variável aleatória é a expectativa de sua parte positiva mais a expectativa de sua parte negativa - max ( - X , 0 ) . Uma vez que a parte positiva da expectativa - se existir - é parte integrante da função de sobrevivência (de 0 a ) emax(X,0 0)-max(-X,0 0)0 0

0 0xS(t)dt=0 0x(1 1/t+o(1 1/t))dtregistro(x),

a parte positiva da expectativa de diverge.X(Eu+1 1)/X(Eu)

-XEu

whuber
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2
n=3