A soma de uma variável aleatória discreta e contínua é contínua ou mista?

Se $X$ é discreto e é uma variável aleatória contínua, o que podemos dizer sobre a distribuição de ? É contínuo ou é misturado?$Y$$X+Y$

E o produto ?$XY$

Suponhamos que assume valores k ∈ K com distribuição discreta ( p k ) k ∈ K , onde K é um conjunto contáveis, e Y assume valores em R com densidade f Y e CDF F Y .$X$$k \in K$$(p_k)_{k \in K}$$K$$Y$$\mathbb R$$f_Y$$F_Y$

Vamos . Temos P ( Z ≤ z ) = P ( X + Y ≤ z ) = Σ k ∈ K P ( Y ≤ z - X | X = K ) P ( X = K ) = Σ k ∈ K F Y ( z - k ) p k$Z = X + Y$

$$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$$ que pode ser diferenciada para obter uma função de densidade para dada por f Z ( z ) = ∑ k ∈ K f Y ( z - k ) p k$Z$ $$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$$

$R = X Y$$p_0 = 0$

$$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$$ que novamente pode ser diferenciado para obter uma função de densidade.

$p_0 > 0$$\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$$XY$

$X$$p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$$\mathcal{X}$$X$

$$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$$

$\delta$

$Y$$Z := X+Y$$X$$Y$$Z$$X$$Y$$Z$$f_X$$f_Y$

$$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$$

$X$$Y$

Edit: Estou assumindo que "contínuo" significa "ter um pdf". Se contínuo, ao contrário, pretende significar sem átomo, a prova é semelhante; simplesmente substitua "Lebesgue null set" por "singleton set" a seguir.

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$X$$\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

$Z$$P(Z\in E)=0$$E$

$\square$

$X+Y$$E$

$$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$$ $Y+x_k\in E$$Y\in E-x_k$$E-x_k$$Y$$P(Y+x_k\in E)=0$$X+Y$

$P(X=0)=0$$P(X=0)=1$$XY$$P(XY=0)=1$$XY$ é uma mistura não trivial.