Variância do máximo de variáveis ​​aleatórias gaussianas

9

Dadas as variáveis ​​aleatórias X1,X2,,Xn amostra amostrada de , defina N(0,σ2)

Z=maxi{1,2,,n}Xi

Temos esse E[Z]σ2logn . Eu queria saber se existem limites superiores / inferiores em Var(Z) ?

Diabo
fonte
1
Apenas para começar, acho que você encontrará que Var(Z)σ2 (a igualdade é alcançada em n = 1) e Var (Z) diminui à medida que n aumenta. Deixo a você fornecer esse limite mais estreito em função de n.
Mark L. Stone
1
A amostra máxima menos a amostra mínima é conhecida como intervalo estudado e segue a distribuição do intervalo estudado se as variáveis ​​aleatórias subjacentes forem normais para o IDI. Isso está pelo menos vagamente relacionado ao que você está perguntando ... (poderia dar um ponto de partida para a leitura). De volta à sua pergunta específica, tenho certeza de que você poderia escrever uma simulação de Monte-Carlo com bastante facilidade para encontrar uma resposta prática.
Matthew Gunn
2
Ambas as respostas para stats.stackexchange.com/questions/105745 fornecem aproximações ao desvio padrão (e, portanto, à variação), usando análises que podem produzir limites superiores ou inferiores.
whuber
Relacionados: stats.stackexchange.com/questions/77110/...
b Kjetil Halvorsen

Respostas:

7

Você pode obter um limite superior aplicando a desigualdade de Talagrand: veja o livro de Chatterjee (fenômeno da superconcentração, por exemplo).

Ele diz que .Var(f)Ci=1nif221+log(if||2/if1)

Para o máximo, você obtém , ao integrar com relação à medida gaussiana em obtém por simetria. (Aqui eu escolho todo o meu IDI com variação um).R ni f 2 2 = i f 1 = 1if=1Xi=maxRnif22=if1=1n

Essa é a verdadeira ordem da variação: como você tem um limite superior na expectativa do máximo, este artigo de Eldan-Ding Zhai (Em vários picos e desvio moderado do supremo gaussiano) diz que
Var(maxXi)C/(1+E[maxXi])2

Também é possível obter uma desigualdade acentuada de concentração refletindo esses limites na variação: você pode consultar http://www.wisdom.weizmann.ac.il/mathusers/gideon/papers/ranDv.pdf ou, para um processo gaussiano mais geral , no meu artigo https://perso.math.univ-toulouse.fr/ktanguy/files/2012/04/Article-3-brouillon.pdf

Em geral, é bastante difícil encontrar a ordem correta de magnitude da variação de um supremo de Gaussien, uma vez que as ferramentas da teoria da concentração são sempre abaixo do ideal para a função máxima.

Por que você precisa desse tipo de estimativa, se posso perguntar?

Tanguy Kevin
fonte
1
Observe que a desigualdade de Talagrand é uma melhoria da desigualdade de Poincaré satisfeita pela medida gaussiana padrão. Há mais sobre isso no artigo de Cordero-Ledoux "Medidas hipercontrativas, desigualdade e influências de Talagrand".
precisa
2
Muito obrigado. Isso ajuda muito. Eu estava lidando com o problema em que estava tentando limitar a probabilidade de erros ao estimar o comprimento das execuções de 0 em um fluxo de bits a partir de observações através de um canal de exclusão. Depois de uma aproximação gaussiana, o máximo parecia ser um estimador natural, e eu achei que limitar seu desempenho não era trivial. No meu problema específico, eu poderia encontrar uma maneira de contorná-lo, reduzindo-o a um problema de estimativa do Gaussian MMSE.
Devil dia
1

De um modo mais geral, a expectativa e a variação do intervalo dependem da gordura da cauda de sua distribuição. Para a variância, é onde depende da sua distribuição ( para uniforme, para Gaussiano e para exponencial.) Veja aqui . A tabela abaixo mostra a ordem de magnitude para o intervalo.O(nB)BB=2B=1B=0

insira a descrição da imagem aqui

Vincent Granville
fonte