Dadas as variáveis aleatórias amostra amostrada de , defina
Temos esse . Eu queria saber se existem limites superiores / inferiores em ?
Dadas as variáveis aleatórias amostra amostrada de , defina
Temos esse . Eu queria saber se existem limites superiores / inferiores em ?
Respostas:
Você pode obter um limite superior aplicando a desigualdade de Talagrand: veja o livro de Chatterjee (fenômeno da superconcentração, por exemplo).
Ele diz que .V a r (f) ≤ C∑ni = 1∥ ∂Euf∥221 + log( ∥ ∂Euf| |2/ ∥ ∂Euf∥1)
Para o máximo, você obtém , ao integrar com relação à medida gaussiana em obtém por simetria. (Aqui eu escolho todo o meu IDI com variação um).R n ‖ ∂ i f ‖ 2 2 = ‖ ∂ i f ‖ 1 = 1∂Euf= 1XEu= m a x Rn ∥ ∂Euf∥22= ∥ ∂Euf∥1= 1n
Essa é a verdadeira ordem da variação: como você tem um limite superior na expectativa do máximo, este artigo de Eldan-Ding Zhai (Em vários picos e desvio moderado do supremo gaussiano) diz que
V a r (max XEu) ≥ C/ (1+ E [máx XEu] )2
Também é possível obter uma desigualdade acentuada de concentração refletindo esses limites na variação: você pode consultar http://www.wisdom.weizmann.ac.il/mathusers/gideon/papers/ranDv.pdf ou, para um processo gaussiano mais geral , no meu artigo https://perso.math.univ-toulouse.fr/ktanguy/files/2012/04/Article-3-brouillon.pdf
Em geral, é bastante difícil encontrar a ordem correta de magnitude da variação de um supremo de Gaussien, uma vez que as ferramentas da teoria da concentração são sempre abaixo do ideal para a função máxima.
Por que você precisa desse tipo de estimativa, se posso perguntar?
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De um modo mais geral, a expectativa e a variação do intervalo dependem da gordura da cauda de sua distribuição. Para a variância, é onde depende da sua distribuição ( para uniforme, para Gaussiano e para exponencial.) Veja aqui . A tabela abaixo mostra a ordem de magnitude para o intervalo.O ( n- B) B B = 2 B = 1 B = 0
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