Cálculo da expectativa condicional em álgebras

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Eu realmente não vi nenhum livro de probabilidades calcular expectativa condicional, exceto as σ álgebras geradas por uma variável aleatória discreta. Eles simplesmente afirmam a existência de expectativa condicional, juntamente com suas propriedades, e deixam assim. Acho isso um pouco perturbador e estou tentando encontrar um método para calculá-lo. É isso que eu acho que "deveria ser".

Seja (Ω,F,μ) um espaço de probabilidade com GF a σ álgebra. Seja ξ:ΩR uma variável aleatória. Nosso objetivo é calcular E[ξ|G] .

Corrija , precisamos calcular E [ ξ | G ] ( ω ) . Deixe A G ser tal w A . A intuição diz que E [ ξ | A ] = 1ωΩE[ξ|G](ω)AGωAé uma aproximação ao valor deE[ξ| G](ω), desde que, obviamente,μ(A)0,que assumimos agora.E[ξ|A]=1μ(A)AξE[ξ|G](ω)μ(A)0

A intuição também diz que, se pudermos encontrar um evento menor , com ω B e μ ( B ) 0 , então E [ ξ | B ] é uma melhor aproximação de E [ ξ | G ] ( ω ) que E [ ξ | Uma ] .BAωBμ(B)0E[ξ|B]E[ξ|G](ω)E[ξ|A]

Daí a ótima aproximação de deve ser E [ ξ | M ] onde M G , com ω M , e com a propriedade mínima . A propriedade mínimo aqui é simplesmente se A G com w A , então M A .E[ξ|G](ω)E[ξ|M]MGωMAGωAMA

Mas há dois problemas:

(i) Esse existe mesmo? Se G é no máximo contável, isso é trivialmente verdadeiro. Assim, vamos assumir que G é realmente contável.MGG

(ii) E se , então E [ ξ | M ] está indefinido! Neste caso, assumiremos que podemos produzir uma sequência de eventos M nG , de modo que M nM e μ ( M n ) > 0 .μ(M)=0E[ξ|M]MnGMnMμ(Mn)>0

A intuição diz que,

E[ξ|G](ω)=limn1μ(Mn)Mnξ=limn1μ(Mn)Ωξ.1Mn

Como verificação da realidade, o Teorema da Convergência Monótona implica: Continuidade em medida implica, μ ( M n ) μ ( H ) = 0 Assim, a nossa limite é de forma indeterminada " 0

Ωξ.1MnΩξ.1M=Ω0 0=0 0
μ(Mn)μ(M)=0
", que é o que queremos. 00

1) Esse cálculo computará corretamente a expectativa condicional?

2) Quais são algumas das suposições sobre o espaço de probabilidade para que isso ocorra?

Nicolas Bourbaki
fonte
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Além disso: É um teorema bem conhecido que nenhuma álgebra sigma é contável; portanto, seu (i) precisa de alguma revisão, pois está basicamente assumindo a finitude de . |G|
cardeal
@ cardinal O álgebra gerado por uma variável aleatória simples será contável. σ
Nicolas Bourbaki
2
O álgebra de uma variável aleatória simples será finito, o que, em conjunto com o resultado mencionado acima, simplifica significativamente o seu (i). σ
cardeal
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Você deve olhar para o paradoxo borel
b Kjetil Halvorsen

Respostas:

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Isso não responde à pergunta, mas fornece uma espécie de "contra-exemplo". Não é bem assim, mas trata de um problema em potencial que pode ocorrer ao usar sua intuição para aproximar a aproximação condicional.

O livro de Brezniak, "Processos estocásticos básicos", calcula o seguinte exercício de expectativa condicional por meio da definição formal. Refiz o exemplo dele usando o 'método de aproximações', conforme solicitado no post original.


Considere o seguinte exemplo. com μ da medida padrão de Lebesgue.Ω=[0,1]μ

Defina as variáveis ​​aleatórias, e η ( ω ) = 1 - | 2 ω - 1 | . Vamos calcular E [ ξ | η ] . Dado ω Ω , a expectativa condicional E [ ξ | η ] ( ω ) deve ser igual a E [ ξ | η = η (ξ(ω)=2ω2η(ω)=1|2ω1|E[ξ|η]ωΩE[ξ|η](ω) . No entanto, o evento ( η = η ( ω ) ) é o conjunto { ω , 1 - ω } , que é da medida zero e, portanto, [ ξ | η = η ( ω ) ] é indefinido.E[ξ|η=η(ω)](η=η(ω)){ω,1ω}[ξ|η=η(ω)]

Então, vamos aproximar o evento . Escolha um pequeno ε > 0 e construa o evento A ε = [ ω - ε , ω + ε ] { 1 - ω } . Os eventos A ε aproximam-se de A e se aproximam de A no limite à medida que diminuímos o ε . Além disso, μ ( A ε ) = 2A={ω,1ω}ε>0Aε=[ωε,ω+ε]{1ω}AεAAε .μ(Aε)=2ε

Calculamos, no limite, Mas esta é a resposta errada!

E[ξ|Aε]=12εωεω+ε2t2 dt2ω2

No entanto , se aproximarmos por , então, E [ ξ | B ε ] = 1Bε=[ωε,ω+ε][1ωε,1ω+ε] Qual é a resposta certa!

E[ξ|Bε]=14ε{ωεω+ε2t2 dt+1ωε1ω+ε2t2 dt}ω2+(1ω)2

Por que uma abordagem funciona e a outra não? Claramente, na primeira aproximação, os conjuntos de aproximação não pertenciam à σ- álgebra gerada por ξ . Na segunda aproximação, os conjuntos de aproximação B ω pertenciam a σ ( ξ ) .AωσξBωσ(ξ)

Nicolas Bourbaki
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