Usos da Média (X / Y) vs. Média (X) / Média (Y)

Eu tenho uma tabela com duas colunas X e Y. Cada linha representa uma estatística agregada para uma instância. Apresento uma nova coluna como Z = X / Y, que é outra informação importante sobre a instância. Agora, quero apresentar as estatísticas gerais das instâncias (ou seja, Média).

Aqui tenho uma preocupação: Qual deles devo usar entre Média (X / Y) e Média (X) / Média (Y) para representar a Média de Z? Simplesmente, pode ser Média (X / Y) apenas porque Z = X / Y.

No entanto, tenho duas preocupações:

Média (Y) * Média (Z)! = Média (X); torna difícil para as pessoas confiarem nos números.
as diferenças entre Média (X / Y) e Média (X) / Média (Y) são significativas. As diferenças em si dizem algo significativo estatisticamente?

// Eu atualizo meu caso.

A tabela mantém os registros do usuário em um sistema. Os usuários podem fazer upload de dados para ele.

X: o número de uploads
Y: o volume de envios
Z: Y / X; volume por upload

O que eu quero fazer é simular esse sistema com cargas de trabalho semelhantes ao real.

Simplesmente crio N instâncias de usuários (N não pode ser muito grande) com X '= Média (X) e Z' = Média (Z).

Portanto, durante a simulação, cada usuário carrega dados do volume total: (X ') * (Z').

Então, quando agrego os resultados da simulação, acabo com: Média (Y ')! = Média (Y).

interpretation metric syko
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veja '' estimadores de proporção '', por exemplo: stats.stackexchange.com/questions/164738/…

@fcop Hmm, quando a estimativa de proporção ajuda? Quando eu quero executar uma simulação com N instâncias (cada uma tem as características Média (X), Média (Y) e Média (Z)) com base nas estatísticas? Posso usar a estimativa estimada em vez de Média (Z)?

syko

Estou no trem agora, responderei à noite.

Você examinou a distribuição do volume por upload ou de uploads por usuário, e não apenas os valores médios? Para a simulação, você provavelmente deve coletar amostras das distribuições, em vez de usar apenas valores médios, em qualquer caso.

Edm

Muitos bons conselhos aqui, mas muitas vezes acho que uma média é inadequada para resumir essa proporção, mesmo que ambas as quantidades sejam estritamente positivas. O intervalo é mapeado para e o intervalo é mapeado para que é bastante assimétrico. A distribuição resultante geralmente é altamente distorcida, o que por si só pode tornar os meios estranhos ou problemáticos. O remédio geralmente é trabalhar com logaritmo da razão e / ou (equivalentemente) meios geométricos.

X < Y

$X < Y$

0 < (X / Y) < 1

$0 < (X / Y) < 1$

Y > X

$Y > X$

\infty > (X / Y) > 1

$\infty > (X / Y) > 1$

Nick Cox

Respostas:

Você deve apresentar Média (X / Y) se X / Y é uma medida útil e uma média é uma maneira útil de resumi-la. Pela desigualdade de Jensen , sabemos que a proporção da média nunca é igual à média da proporção, exceto em algumas circunstâncias especiais.

AdamO
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Obrigado, acho que sua resposta está correta. No entanto, como mencionei como uma das minhas preocupações, as pessoas (que não se importam com o que é a desigualdade de Jensen) tendem a não acreditar nos números. Porque Média (Y) * Média (Z)! = Média (X) que contradiz a intuição. Qual seria a melhor explicação para isso?

syko

@ syko é um problema epistemológico. Certifique-se de explicar cuidadosamente que são quantidades distintas. Não acho que seu exemplo contradiga a intuição. Tome Y = -X, X = -1 ou 1 com igual probabilidade.

AdamO 6/09/16

@ AdamO Acho que você encontrou um erro no seu cálculo; nesse caso

E (1 / Y) > 1

$E(1/Y) > 1$ desde (com probabilidade 1)

1 / Y > 1

$1/Y>1$ .

Richard Rast

@RM O que você quer dizer com "limite de duas variáveis aleatórias independentes"?

AdamO 6/09/16

@ AdamO O que eu quis dizer foi que você tem duas variáveis independentes e constrói um número infinito de pares a partir de amostras das duas. - Percebo agora que estava errado sobre o meu comentário, porém, por negligenciar a complexidade do recíproco. Enquanto Média (X) * Média (1 / Y) = Média (X / Y) para variáveis completamente independentes, você não pode dizer que Média (X) / Média (Y) = Média (X / Y), a menos que você tenha uma distribuição rara de Y tal que Média (1 / Y) = 1 / Média (Y). Portanto, sua intuição está assumindo 1. as duas variáveis são independentes (não correlacionadas) e 2. Média (1 / Y) = 1 / Média (Y), o que não é correto em geral.

$Z=Y/X$ pode ser significativo para usuários individuais como seu volume médio individual por upload, mas $\text{Mean}(Y/X)$ não parece significativo em conjunto, pois alguns usuários usam o sistema mais do que outros.

Se você tomou uma média ponderada de $Z=Y/X$ para explicar isso, os pesos naturais seriam os números de uploads $X$ e a média ponderada resultante acabaria sendo

Média Ponderada (Z) = Soma (X \times Y / X) / Soma (X) = Soma (Y) / Soma (X) = Significar (Y) / Significar (X)

$\text{Weighted Mean}(Z)=\text{Sum}(X \times Y/X)/ \text{Sum}(X)=\text{Sum}(Y)/ \text{Sum}(X) \\ =\text{Mean}(Y)/ \text{Mean}(X)$ que também seria o volume médio agregado por upload no sistema.

Suas preocupações são justificadas: provavelmente seria melhor usar a última opção.

Henry
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