Momento finito

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Se que o suporte de é . Então, . Então diga que eu suponho que tenha momentos finitos. Quando , eu sei que os meios de onde é a densidade associado de . Qual o equivalente matemático de assumir tem momentos finitos quando ?XFXRpX=(X1,X2,,Xp)Xkp=1

Rxkf(x)dx<,
f(x)FXkp>1

Em este link, na página 2, os autores definem o th momento como ondeé a norma euclidiana.k

EXk=Xkf(x)dx,

A resposta de Glen_b aqui sugere que o ésimo momento seria x k 1 x k 2x k pk

x1kx2kxpkf(x)dx.

Assumir que um é finito implica que o outro é finito?

Greenparker
fonte
Você já viu esse idioma usado para algum lugar? Essencialmente, para os momentos serão ordem dos tensores. Portanto, para você tem um vetor médio, para , uma matriz de (co) variância; para você teria um tensor de "skewness" de ordem de e assim por diante. (Assumindo momentos em torno da média, para .)p > 1 k t h k = 1 k = 2 k = 3 3 r d k > 1p>1p>1kthk=1k=2k=33rdk>1
GeoMatt22
@ GeoMatt22 Isso está correto. Sim, eu vi o idioma usado. Por exemplo, aqui eles falam sobre momentos finitos de um vetor aleatório. 2+δ
Greenparker
Talvez o significado seja que todas as entradas do momento-tensor sejam finitas?
GeoMatt22
@ Greenparker, você poderia citar essa passagem no texto? Não consigo encontrar.
Ekvall
@ Student001 Opa, desculpe, link errado. Aqui está o link certo. Veja a declaração do Teorema 4, página 6.
Greenparker

Respostas:

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A resposta está no negativo, mas o problema pode ser resolvido.

Para ver o que está errado, deixe ter uma distribuição t de Student com dois graus de liberdade. Suas propriedades destacadas são que E ( | X | ) é finito, mas E ( | X | 2 ) = . Considere a distribuição bivariada de ( X , X ) . Seja f ( x , y ) d x d y o seu elemento de distribuição (que é singular: ele é suportado apenas na diagonal x = yXE(|X|)E(|X|2)=(X,X)f(x,y)dxdyx=y) Ao longo da diagonal, , de onde||(x,y)||=|x|2

E(||(X,X)||1)=E(2|X|)<

enquanto que

x1y1f(x,y)dxdy=x2f(x,x)dx=.

Cálculos análogos nas dimensões devem deixar claro que | x 1 | k | x 2 | k| x p | k f ( x 1 , , x p ) d x 1d x pp

|x1|k|x2|k|xp|kf(x1,,xp)dx1dxp

realmente é um momento de ordem , não k . Para mais informações sobre momentos multivariados, consulte Let Y seja um vetor aleatório. São considerados os k momentos de Y ? .pkkYkY


Para descobrir quais devem ser as relações entre os momentos multivariados e os momentos da norma, precisaremos de duas desigualdades. Seja qualquer vetor p- dimensional e seja k 1 , k 2 , , k p números positivos. Escrever k = k 1 + k 2 + k p para a sua soma (implicando k i / k 1x=(x1,,xp)pk1,k2,,kpk=k1+k2+kpkEu/k1para todos ). Seja q > 0 qualquer número positivo (na aplicação, q = 2 para a norma euclidiana, mas acontece que não há nada de especial no valor 2 ). Como é habitual, escrevaEuq>0 0q=22

||x||q=(Eu|xEu|q)1/q.

Primeiro, vamos aplicar a desigualdade AM-GM aos números não negativos com pesos k i . Isso afirma que a média geométrica ponderada não pode exceder a média aritmética ponderada:|xEu|qkEu

(Eu(|xEu|q)kEu)1/k1kEukEu|xEu|q.

Superestime o lado direito substituindo cada por 1 e tome a potência k / q de ambos os lados:kEu/k1k/q

(1)Eu|xEu|kEu=((Eu(|xEu|q)kEu)1/k)k/q(Eu|xEu|q)k/q=||x||qk.

Agora vamos superestimar substituindo cada termo | x i | q pelo maior entre eles, max ( | x i | q ) = max ( | x i | ) q :||x||q|xEu|qmax(|xEu|q)=max(|xEu|)q

||x||q(Eumax(|xEu|q))1/q=(pmax(|xEu|)q)1/q=p1/qmax(|xEu|).

Tomando poderes produzkº

2)||x||qkpk/qmax(|xEu|k)pk/qEu|xEu|k.

Por uma questão de notação, escreva

μ(k1,k2,,kp)=|x1|k1|x2|k2|xp|kpf(x)dx.

Este é o momento da ordem (k1,k2,,kp) (e a ordem total ). Ao integrar aginst f , a desigualdade ( 1 ) estabelecekf(1)

(3)μ(k1,,kp)||x||qkf(x)dx=E(||X||qk)

e a desigualdade fornece E ( | | X | | k q ) p k / q ( μ ( k , 0 , , 0 ) + μ ( 0 , k , 0 , , 0 ) + + μ ( 0 , , 0 , k ) ) .(2)

4)E(||X||qk)pk/q(μ(k,0 0,,0 0)+μ(0 0,k,0 0,,0 0)++μ(0 0,,0 0,k)).

kº(3)(4)

  • kºE(||X||qk)

  • E(||X||qk)μ(k1,,kp)k1++kp=k

kk

Portanto,

q>0 0kºeuqE(||X||qk)k

whuber
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Momentos mais altos devem ser considerados como tensores e, portanto, normas de tensores.
Henry.L
@ Henry Você poderia explicar como e por que isso seria uma consideração aplicável neste tópico?
whuber
Olá, veja a minha resposta abaixo.
Henry.L
2

A resposta do @whuber está correta e bem composta.

Eu escrevi esse tópico apenas para explicar por que esse problema pode ser melhor abordado na linguagem dos tensores. Eu pensava anteriormente que o ponto de vista do tensor é amplamente aceito na comunidade de estatísticas, agora eu sei que esse não é o caso.

X=(X1,Xp)κEu,j=E(XEu-EXEu)(Xj-EXj)Yr=UMArX+brY=UMAX+b)Yr,Ys

κr,s=YrXEuYsXjκEu,j
eup

Quanto à razão pela qual devemos adotar essa visão, a história é muito mais longa, mas segue-se um breve comentário.

A referência clássica ao estabelecer essa visão é [McCullagh] e, posteriormente, trabalhos dispersos na literatura de "aprendizado de máquina". Mas a origem de tal visão é realmente perseguida muito antes nas obras bayesianas [Jeffereys]. Essa visão definitivamente ajuda na visualização e provavelmente motivou algumas pesquisas em análise estatística de formas, como os primeiros trabalhos de Mardia.

[McCullagh] http://www.stat.uchicago.edu/~pmcc/tensorbook/ch1.pdf

Jeffreys, Harold. Tensores cartesianos. Cambridge University Press, 1931.

Henry.L
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