Se que o suporte de é . Então, . Então diga que eu suponho que tenha momentos finitos. Quando , eu sei que os meios de onde é a densidade associado de . Qual o equivalente matemático de assumir tem momentos finitos quando ?
Em este link, na página 2, os autores definem o th momento como ondeé a norma euclidiana.‖ ⋅ ‖
A resposta de Glen_b aqui sugere que o ésimo momento seria ∫ x k 1 x k 2 … x k p
Assumir que um é finito implica que o outro é finito?
probability
random-variable
expected-value
moments
Greenparker
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Respostas:
A resposta está no negativo, mas o problema pode ser resolvido.
Para ver o que está errado, deixe ter uma distribuição t de Student com dois graus de liberdade. Suas propriedades destacadas são que E ( | X | ) é finito, mas E ( | X | 2 ) = ∞ . Considere a distribuição bivariada de ( X , X ) . Seja f ( x , y ) d x d y o seu elemento de distribuição (que é singular: ele é suportado apenas na diagonal x = yX E ( | X| ) E ( | X|2) = ∞ ( X, X) f( x ,y) dx dy x = y ) Ao longo da diagonal, , de onde| | (x,y) | | = | x | 2-√
enquanto que
Cálculos análogos nas dimensões devem deixar claro que ∫ ⋯ ∫ | x 1 | k | x 2 | k ⋯ | x p | k f ( x 1 , … , x p ) d x 1 ⋯ d x pp
realmente é um momento de ordem , não k . Para mais informações sobre momentos multivariados, consulte Let Y seja um vetor aleatório. São considerados os k momentos de Y ? .p k k Y k Y
Para descobrir quais devem ser as relações entre os momentos multivariados e os momentos da norma, precisaremos de duas desigualdades. Seja qualquer vetor p- dimensional e seja k 1 , k 2 , … , k p números positivos. Escrever k = k 1 + k 2 + ⋯ k p para a sua soma (implicando k i / k ≤ 1x = ( x1, … , Xp) p k1, k2, … , Kp k = k1+ k2+ ⋯ kp kEu/ k≤1 para todos ). Seja q > 0 qualquer número positivo (na aplicação, q = 2 para a norma euclidiana, mas acontece que não há nada de especial no valor 2 ). Como é habitual, escrevaEu q> 0 q= 2 2
Primeiro, vamos aplicar a desigualdade AM-GM aos números não negativos com pesos k i . Isso afirma que a média geométrica ponderada não pode exceder a média aritmética ponderada:| xEu|q kEu
Superestime o lado direito substituindo cada por 1 e tome a potência k / q de ambos os lados:kEu/ k 1 k / q
Agora vamos superestimar substituindo cada termo | x i | q pelo maior entre eles, max ( | x i | q ) = max ( | x i | ) q :| | x | |q | xEu|q max ( | xEu|q) = max ( | xEu| )q
Tomando poderes produzkº
Por uma questão de notação, escreva
Este é o momento da ordem( k1, k2, … , Kp) (e a ordem total ). Ao integrar aginst f , a desigualdade ( 1 ) estabelecek f ( 1 )
e a desigualdade fornece E ( | | X | | k q ) ≤ p k / q ( μ ( k , 0 , … , 0 ) + μ ( 0 , k , 0 , … , 0 ) + ⋯ + μ ( 0 , … , 0 , k ) ) .( 2 )
Portanto,
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A resposta do @whuber está correta e bem composta.
Eu escrevi esse tópico apenas para explicar por que esse problema pode ser melhor abordado na linguagem dos tensores. Eu pensava anteriormente que o ponto de vista do tensor é amplamente aceito na comunidade de estatísticas, agora eu sei que esse não é o caso.
Quanto à razão pela qual devemos adotar essa visão, a história é muito mais longa, mas segue-se um breve comentário.
A referência clássica ao estabelecer essa visão é [McCullagh] e, posteriormente, trabalhos dispersos na literatura de "aprendizado de máquina". Mas a origem de tal visão é realmente perseguida muito antes nas obras bayesianas [Jeffereys]. Essa visão definitivamente ajuda na visualização e provavelmente motivou algumas pesquisas em análise estatística de formas, como os primeiros trabalhos de Mardia.
[McCullagh] http://www.stat.uchicago.edu/~pmcc/tensorbook/ch1.pdf
Jeffreys, Harold. Tensores cartesianos. Cambridge University Press, 1931.
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