Como alguém explica o que é um estimador imparcial para um leigo?

Suponha que seja um estimador imparcial para . Então, é claro, . θE[ θ |θ]=$\hat{\theta}$$\theta$$\mathbb{E}[\hat{\theta} \mid \theta] = \theta$

Como alguém explica isso a um leigo? No passado, o que eu disse é que se você calcula a média de vários valores de , à medida que o tamanho da amostra aumenta, você obtém uma melhor aproximação de .$\hat{\theta}$$\theta$

Para mim, isso é problemático. Eu acho que o que estou descrevendo aqui é esse fenômeno de ser assintoticamente imparcial, em vez de apenas ser imparcial, ou seja, onde \ hat {\ theta} provavelmente depende de n . θ

Então, como explicar o que é um estimador imparcial para um leigo?

Tecnicamente, o que você está descrevendo quando diz que seu estimador se aproxima do valor real à medida que o tamanho da amostra aumenta é (como outros já mencionaram) consistência ou convergência de estimadores estatísticos. Essa convergência pode ser convergência em probabilidade, o que indica que para cada , ou quase certeza de convergência que diz que . Observe como o limite está realmente dentroε > 0 P ( lim n → ∞ | q n - q | > ε ) = $\lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta}_n - \theta| > \epsilon) = 0$$\epsilon > 0$$P(\lim_{n \to \infty} |\hat{\theta}_n - \theta| > \epsilon) = 0$a probabilidade no segundo caso. Acontece que essa última forma de convergência é mais forte que a outra, mas ambas significam essencialmente a mesma coisa, ou seja, a estimativa tende a se aproximar cada vez mais da coisa que estamos estimando à medida que coletamos mais amostras.

Um ponto sutil aqui é que mesmo quando quer na probabilidade ou quase certamente, é não verdade em geral que , portanto, consistência não implica imparcialidade assintótica, como você está sugerindo. Você deve ter cuidado ao passar de sequências de variáveis ​​aleatórias (que são funções) para sequências de expectativas (que são integrais).limn→∞E( θ n)=$\hat{\theta}_n \to \theta$$\lim_{n \to \infty} \text{E}(\hat{\theta}_n) = \theta$

Todas as coisas técnicas à parte, imparciais apenas significam que . Portanto, quando você explicar a alguém, diga que, se o experimento for repetido sob condições idênticas muitas vezes, o valor médio da estimativa ficaria próximo do valor real.$\text{E}(\hat{\theta}_n) = \theta$

Não tenho certeza se você confunde consistência e imparcialidade.

Consistência: quanto maior o tamanho da amostra, menor a variação do estimador.

• Depende do tamanho da amostra

Imparcialidade: o valor esperado do estimador é igual ao valor real dos parâmetros

• Não depende do tamanho da amostra

Então sua sentença

Se você média um monte de valores de θ , como o tamanho da amostra fica maior, você obter uma melhor aproximação das θ .$\hat\theta$$\theta$

Não está correto. Mesmo que o tamanho da amostra fique infinito, um estimador imparcial continuará sendo um estimador imparcial, por exemplo, se você estimar a média como "média +1", poderá adicionar um bilhão de observações à sua amostra e seu estimador ainda não fornecerá o valor verdadeiro.

Aqui você encontra uma discussão mais profunda sobre a diferença entre consistência e imparcialidade.

Qual é a diferença entre um estimador consistente e um estimador imparcial?

O @Ferdi já forneceu uma resposta clara à sua pergunta, mas vamos torná-la um pouco mais formal.

$X_1,\dots,X_n$$F$$\theta$ $g$$X_1,\dots,X_n$$g$

também é uma variável aleatória. Definimos viés como

$\mathbb{E}_\theta(\hat\theta_n) = \theta$

$\hat\theta_n$

Como outros já observaram, o fato de sua estimativa ficar "mais próxima" da quantidade estimada à medida que a amostra cresce, ou seja, que converge em probabilidade

tem a ver com consistência dos estimadores , não imparcialidade. A imparcialidade por si só não nos diz nada sobre o tamanho da amostra e sua relação com as estimativas obtidas. Além disso, os estimadores imparciais nem sempre estão disponíveis e nem sempre são preferíveis aos tendenciosos. Por exemplo, depois de considerar a troca de desvio-desvio, você pode considerar o uso de estimador com desvio maior, mas menor - então "em média" seria mais distante do valor real, mas mais frequentemente (desvio menor) as estimativas estar mais próximo do valor real e, em caso de estimador imparcial.

Primeiro, você deve distinguir o viés de incompreensão do viés estatístico, especialmente para um leigo.

A escolha de dizer mediana, média ou modo como estimador para uma média populacional geralmente contém um viés de crença política, religiosa ou da teoria científica. O cálculo de qual estimador é a melhor forma de média é de um tipo diferente da aritmética que afeta o viés estatístico.

Depois de superar o viés de seleção do método, é possível abordar os possíveis vieses no método de estimativa. Primeiro, você precisa escolher um método que possa ter um viés e um mecanismo que conduz facilmente a esse viés.

Pode ser mais fácil usar um ponto de vista de divisão e conquista, onde fica óbvio à medida que o tamanho da amostra diminui, a estimativa se torna claramente tendenciosa. Por exemplo, o fator n-1 (fator vs n) nos estimadores de spread de amostra se torna óbvio quando n cai de 3 para 2 para 1!

Tudo depende de quão 'leiga' a pessoa é.