CLT com variáveis aleatórias que não são integráveis

Entre as várias maneiras de resolver essa, construir a sequência perturbando uma variável normal padrão parece ser a mais simples e elegante.

No final, comento a conexão com o Teorema do Limite Central.

Funções características

Permita-me uma digressão antes de apresentar uma solução. A inspiração para a técnica que será utilizada vem da idéia de que existe mais de uma maneira para descrever a distribuição de qualquer variável aleatória . Mais comum e mais direta, é sua função de distribuição . Uma alternativa indireta, mas extremamente útil, é sua função característica $X$ $F_X(x)=\Pr(X\le x)$

ψ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = E [\cos (t X)] + i E [\sin (t X)] .

$\psi_X(t) = E\left[e^{itX}\right] = E\left[\cos(t X)\right] + i\, E\left[\sin(t X)\right].$

Como para todos os , é definido para qualquer distribuição (e seus valores para todos os não podem exceder em tamanho). Além disso, e têm a mesma distribuição se e somente se tiverem a mesma função característica. Ainda melhor é o Teorema da Continuidade de Lévy: Uma sequência converge em distribuição para uma variável aleatória se e somente se para cada a sequência converge para um valor e a função $|e^{itX}|=1$ $t$ $\psi_F$ $F$ $t$ $1$ $X$ $Y$ $X_n$ $X$ $t$ $\phi_{X_n}(t)$ $\psi(t)$ $\psi$ é contínuo em . (Todas as funções características são contínuas em .) Neste caso, é a função característica de . $0$ $0$ $\psi$ $X$

Outra das propriedades encantadoras desfrutadas pelas funções características é a relação delas com combinações lineares: quando e são variáveis aleatórias (no mesmo espaço de probabilidade e e são números reais, $X$ $Y$ $\alpha$ $\beta$

\begin{matrix} (1) & ψ_{α X + β Y} (t) = ψ_{X} (α t) ψ_{Y} (β t) . \end{matrix}

$\psi_{\alpha X+\beta Y}(t) = \psi_X(\alpha t)\psi_Y(\beta t).\tag{1}$

Isso torna as funções características (cfs) uma ferramenta adequada para o estudo de perturbações das variáveis aleatórias alcançadas adicionando pequenas quantidades de outras variáveis aleatórias a elas: ou seja, variáveis aleatórias da forma parapequeno. $X$ $Y$ $X+\beta Y$ $|\beta|$

Solução

Construção de uma sequência

Vamos construo de uma solução de partida com uma variável normal padrão e a formação de uma sequência independente com a mesma distribuição que . Obviamente, isso tem a propriedade limitadora que queremos: os meios são todos padrão Normal; portanto, no limite, o meio é padrão Normal. $Z$ $Z_1, Z_2, \ldots, Z_n, \ldots$ $Z$

Seu cf é

\begin{matrix} (2) & ψ_{Z} (t) = e^{- t^{2} / 2} . \end{matrix}

$\psi_Z(t) = e^{-t^2/2}.\tag{2}$

Para as perturbações, escolha alguma variável aleatória com expectativa infinita. Será conveniente para ter um cf fácil de trabalhar. Gostaria de sugerir a distribuição Lévy ( também conhecida como Distribuição Estável com ou distribuição Gamma Inversa ) para a qual $Y$ $Y$ $\alpha=1/2,\ \beta=1$ $(1/2,1/2)$

ψ_{Y} (t) = e^{- \sqrt{| t |} (1 - i sgn (t))} .

$\psi_Y(t) = e^{-\sqrt{|t|}\,(1 - i \operatorname{sgn}(t))}.$

(Para , ; para ) $t\gt 0$ $\operatorname{sgn}(t)=1$ $t \lt 0,$ $\operatorname{sgn}(t)=-1$

Esta distribuição é suportada em e não possui momentos finitos. $(0,\infty)$

Para esta sequência de variáveis normais padrão vamos adicionar cada vez menores múltiplos positivos de . $(Z_n)$ $Y$ (A positividade é desnecessária, mas facilita o trabalho com a função .) Permita que a sequência de múltiplos seja a ser determinada. Assim, a sequência de variáveis aleatórias é definido para ser onde é uma sequência de variáveis aleatórias iid com a mesma distribuição que . $\operatorname{sgn}$ $p_1,p_2,p_3,\ldots,$

X_{n} = Z_{n} + p_{n} Y_{n}

$X_n=Z_n + p_n Y_n$

(Y_{n})

$(Y_n)$

Y

$Y$

Intuição

O que precisamos nos preocupar é se as perturbações são tão ruins que arruinam a convergência para uma distribuição normal padrão. Para aqueles com experiência com tais distribuições de cauda pesados, esta é uma preocupação real: sempre haverá alguma probabilidade positiva de que o pouco de adicionados em irá ocasionalmente introduzir um grande outlier tais gritante que supera a soma parcial . Toda a razão para usar funções características é demonstrar que isso não acontecerá a longo prazo, desde que reduzamos a quantidade de perturbação (o ) suficientemente rapidamente. $Y_n$ $Z_n$ $S_n$ $p_n$

Cálculos formais

Primeiro, tem expectativa infinita porque $X_n$

E [X_{n}] = E [Z_{n} + p_{n} Y_{n}] = E [Z] + p_{n} E [Y] = p_{n} E [Y]

$E[X_n] = E[Z_n + p_n Y_n] = E[Z] + p_n E[Y] = p_n E[Y]$

deve ser infinito, pois é infinito. Portanto, essa sequência atende a todos os requisitos do problema. $E[Y]$ $(X_n)$

Vamos voltar à análise das médias parciais. Aplicação repetida de à média parcial $(1)$

S_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{\sqrt{n}}

$S_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{\sqrt{n}}$

dá

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} ψ_{S_{n}} (t) & = [e^{- (t / \sqrt{n})^{2} / 2} ψ_{Y} (p_{1} t / \sqrt{n})] \dots [e^{- (t / \sqrt{n})^{2} / 2} ψ_{Y} (p_{n} t / \sqrt{n})] \\ = [e^{- (t / \sqrt{n})^{2} / 2} \dots e^{- (t / \sqrt{n})^{2} / 2}] [ψ_{Y} (p_{1} t / \sqrt{n}) \dots ψ_{Y} (p_{n} t / \sqrt{n})] \\ = e^{- t^{2} / (2 n) - t^{2} / (2 n) - \dots - t^{2} / (2 n)} e^{\sqrt{| p_{1} t / \sqrt{n} |} (- 1 + i sgn (p_{1} t / \sqrt{n})} \dots e^{\sqrt{| p_{n} t / \sqrt{n} |} (- 1 + i sgn (p_{n} t / \sqrt{n})} . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{ \psi_{S_n}(t) &= \left[e^{-(t/\sqrt{n})^2/2}\color{Blue}{\psi_Y(p_1 t/\sqrt{n})}\right] \cdots \left[e^{-(t/\sqrt{n})^2/2}\color{Blue}{\psi_Y(p_n t/\sqrt{n})}\right] \\ &= \left[e^{-(t/\sqrt{n})^2/2} \cdots e^{-(t/\sqrt{n})^2/2}\right] \left[\color{Blue}{\psi_Y(p_1t/\sqrt{n}) \cdots \psi_Y(p_nt/\sqrt{n})}\right] \\ &= e^{-t^2/(2n) - t^2/(2n) - \cdots - t^2/(2n)}\quad \color{Blue}{e^{\sqrt{|p_1t/\sqrt{n}|}(-1+i\operatorname{sgn}(p_1t/\sqrt{n})} \cdots e^{\sqrt{|p_nt/\sqrt{n}|}(-1+i\operatorname{sgn}(p_nt/\sqrt{n})} }.\tag{3} }$

$e$ $-t^2/2$

\begin{matrix} (4) & \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{| p_{i} t / \sqrt{n} |} (- 1 + i sgn (p_{i} t / \sqrt{n})) = \sqrt{| t |} (- 1 + i sgn (t)) \frac{\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{p_{i}}}{n^{1 / 4}} \end{matrix}

$\sum_{i=1}^n \color{blue}{\sqrt{|p_it/\sqrt{n}|}(-1+i\operatorname{sgn}(p_it/\sqrt{n}))} = \sqrt{|t|}(-1+i\operatorname{sgn}(t))\frac{\sum_{i=1}^n \sqrt{p_i}}{n^{1/4}}\tag{4}$

$n$ $p_i$ $|-1 + i\operatorname{sgn}(t)| \le \sqrt{2}$ $t$ $(4)$ $n$ $\sum_{i=1}^n\sqrt{p_i} = o(n^{-1/4}).$ $\sqrt{p_i}$ $p_i = 2^{-2i}$

\frac{1}{n^{1 / 4}} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{p_{i}} \leq \frac{1}{n^{1 / 4}} (1 / 2 + 1 / 4 + \dots + 1 / 2^{n} + \dots) = \frac{1}{n^{1 / 4}} \to 0.

$\frac{1}{n^{1/4}} \sum_{i=1}^n \sqrt{p_i} \le \frac{1}{n^{1/4}} (1/2+1/4+\cdots+1/2^n+\cdots) = \frac{1}{n^{1/4}}\to 0.$

$0$ $(3)$ $e^0=1$ $(\psi_{S_n})$ $\psi_X$ $S_n$

Comentários

$X_n$

whuber
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CLT com variáveis ​​aleatórias que não são integráveis

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