Estatística completa de

Gostaria de saber se a estatística está concluída para em uma configuração . σ2N(μ,σ2

$$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$$ $\sigma^2$$N(\mu,\sigma^2)$

Isso depende se é previamente conhecido ou não? Se estiver completo para , então por Lehmann-Scheffé é UMVUE . Mas se fosse conhecido, poderíamos considerar cuja variação é igual a Cramer-Rao ligou e é estritamente menor que , portanto, não poderia ser UMVUE.T σ $\mu$$T$$\sigma^2$W ( X 1 , ... , X n ) = Σ n i = 1 ( X i - μ ) $\mu$2σ4/n2σ4/(n-1)=Var[T]

$$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$$ $2\sigma^4/n$$2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$$T$

Eu acho que resolvi minha própria pergunta. Comentários sobre esta resposta e novas respostas são bem-vindos.

Se são observações em uma população N ( μ , σ 2 ) e μ é desconhecido , então f ( x 1 , … , x n | μ , σ 2 ) = ( $x_1,\ldots,x_n$$N(\mu,\sigma^2)$$\mu$ (isso mostra que a família normal é uma família exponencial). Como a imagem do mapa(μ,σ2)∈R×R+↦(

$$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$$ contém um conjunto aberto deR2, por um teorema (por exemplo, ver página 6aqui), a estatísticaL=(Σ n i = 1 Xi,Σ n i = 1 X 2 i )é suficiente e completo para(μ,σ2). ComoTé uma função deUe está centralizado paraσ2, por Lehmann-SchefféTé UMVUE para $$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$$ $\mathbb{R}^2$$U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$$(\mu,\sigma^2)$$T$$U$$\sigma^2$$T$ .$\sigma^2$

$\mu=\mu_0$$\mu$

$$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$$ $$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$$ $\mathbb{R}$$W$$\sigma^2$$W$$\sigma^2$

$T(X_{1},\ldots,X_{n})$$\bar{X}$$\mu$$\mu$$W(X_{1},\ldots,X_{n})$$W$$T$$\mu$$W$