Estatística completa de

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Gostaria de saber se a estatística está concluída para em uma configuração . σ2N(μ,σ2)

T(X1,,Xn)=i=1n(XiX¯n)2n1
σ2N(μ,σ2)

Isso depende se é previamente conhecido ou não? Se estiver completo para , então por Lehmann-Scheffé é UMVUE . Mas se fosse conhecido, poderíamos considerar cuja variação é igual a Cramer-Rao ligou e é estritamente menor que , portanto, não poderia ser UMVUE.T σ 2μTσ2W ( X 1 , ... , X n ) = Σ n i = 1 ( X i - μ ) 2μ2σ4/n2σ4/(n-1)=Var[T]T

W(X1,,Xn)=i=1n(Xiμ)2n,
2σ4/n2σ4/(n1)=Var[T]T
user39756
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Talvez você concorde comigo que T não é imparcial quando mu é conhecido.
Michael R. Chernick
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@MichaelChernick Você não tem em geral que ? E[T]=σ2
user39756
Desculpe, você está certo. T tem a média da amostra usada na fórmula. Eu estava pensando em W.
Michael R. Chernick
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Dica : Você verificou se é suficiente no caso em que é conhecido? μTμ
cardeal

Respostas:

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Eu acho que resolvi minha própria pergunta. Comentários sobre esta resposta e novas respostas são bem-vindos.

Se são observações em uma população N ( μ , σ 2 ) e μ é desconhecido , então f ( x 1 , , x n | μ , σ 2 ) = ( 1x1,,xnN(μ,σ2)μ (isso mostra que a família normal é uma família exponencial). Como a imagem do mapa(μ,σ2)R×R+(μ

f(x1,,xn|μ,σ2)=(12πσ2)ne-nμ22σ2eμσ2Eu=1nxEu-12σ2Eu=1nxEu2
contém um conjunto aberto deR2, por um teorema (por exemplo, ver página 6aqui), a estatísticaL=(Σ n i = 1 Xi,Σ n i = 1 X 2 i )é suficiente e completo para(μ,σ2). ComoTé uma função deUe está centralizado paraσ2, por Lehmann-SchefféTé UMVUE paraσ
(μ,σ2)R×R+(μσ2,-12σ2)
R2você=(Eu=1nXEu,Eu=1nXEu2)(μ,σ2)Tvocêσ2T .σ2

μ=μ0 0μ

f(x1,,xn|σ2)=(12πσ2)ne-12σ2Eu=1n(xEu-μ0 0)2
σ2R+-12σ2
RWσ2Wσ2
user39756
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T(X1,,Xn)X¯μμW(X1,,Xn)WTμW

Ed P
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WTμ
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Eu tenho procurado na net refrescando minha memória no Teorema de Lehmann-Scheffe e Rao-Blackwell. Concordo com o OP de que a resposta pode ser que T não é uma estatística completa suficiente quando mu é conhecido. Eu acho que pode ser que o espaço do parâmetro seja alterado.
Michael R. Chernick