Qual é a distribuição da soma das variáveis ​​aleatórias qui-quadrado ao quadrado?

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Qual seria a distribuição da seguinte equação:

y=a2+2ad+d2

onde e são variáveis ​​aleatórias qui-quadrado independentes não centrais com graus de liberdade.d 2 Mad2M

OBS .: Os rv que geram e têm e , digamos .d μ = 0 σ 21 σ 2 = cadμ=0σ21σ2=c

Felipe Augusto de Figueiredo
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1. Como estão relacionados e ? 2. As variáveis ​​aleatórias do qui-quadrado já possuem média> 0 Por que você precisaria declará-lo explicitamente? (Ou você está tentando se referir a um qui-quadrado não central?)dad
Glen_b -Reinstata Monica 27/12/16
Acabei de adicionar mais algumas informações à pergunta. Eles são RVs qui-quadrados não centrais, pois foram gerados por variáveis ​​aleatórias gaussianas complexas simétricas circulares não-padrão.
Felipe Augusto de Figueiredo
2M é o grau de liberdade de cada um dos dois?
Alecos Papadopoulos
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Felipe, na sua pergunta você indicar e fazer "tem ", mas agora em sua mais recente comentário que afirmam que não têm essa propriedade. Qual é?? d μ = 0ad μ=0
whuber
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Obrigado por tentar explicar, mas ainda não consigo entender. Onde você escreve " e são variáveis ​​aleatórias qui-quadrado independentes e não centrais", parece que você está somando quadrados de variáveis ​​aleatórias normais que têm médias diferentes de zero, porque é assim que as variáveis ​​qui-quadrado não centrais geralmente surgem. Porém, mais tarde, sua gravação "O rv está gerando e tem ", o que sugere que você está trabalhando com variáveis centrais do qui-quadrado. Eu suspeito que essas são as inconsistências que levaram ao comentário inicial de @Glen_b. Você poderia mostrar explicitamente o que ed a d μ = 0 a dadadμ=0adestamos?
whuber

Respostas:

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Se forem independentes, então terá . Como é não negativo, CDF de pode ser encontrado anotandoPortanto, X = um + d χ 2 4 H X Y = um 2 + 2 um d + d 2 = ( um + d ) 2 = X 2 F Y ( y ) = P ( Y y ) = P ( X 2y ) = Pa,dχ2M2X=a+dχ4M2XY=a2+2ad+d2=(a+d)2=X2fY(y)= 1

FY(y)=P(Yy)=P(X2y)=P(Xy)=FX(y).
fY(y)=12yfX(y)=122M+1Γ(2M)yM1ey/2.

Se e estão correlacionados, as coisas são muito mais complexas. Veja, por exemplo, a função de distribuição cumulativa de NH Gordon e PF Ramig da soma das variáveis ​​aleatórias qui-quadrado correlacionadas (1983) para obter uma definição de qui-quadrado multivariado e distribuição de sua soma.dad

Se , você estará lidando com um qui-quadrado não central, para que o exposto acima não seja mais válido. Esta postagem pode fornecer algumas dicas.μ2M

EDIT: Com base nas novas informações, parece que e são formados pela soma de rv normal com variação não unitária. Lembre-se se então . Como agora ambos terão distribuição qui-quadrado escalada por , isto é, distribuição . Nesse caso, será distribuído. Como resultado, para , temosd Z N ( 0 , 1 ) adZN(0,1)cZN(0,c)

a=ci=12MZi2=d,
a,dcΓ(M,2c)X=a+dΓ(2M,2c)Y=X2
fY(y)=12(2c)2MΓ(2M)yM1ey/2c.
Francis
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Como o mu entra? Supõe-se que seja a média de uma das variáveis ​​qui-quadrado? Eu suspeito que não tem nada a ver com o problema.
Michael R. Chernick
@ MichaelChernick: provavelmente significa que pode ser qui-quadrado não central? a,d
Francis
Suponho que você possa fazer essa suposição, mas o OP não faz nenhuma conexão. Eu acho que você adotou a abordagem correta, o não central não pôde entrar nesse problema. X é o quadrado de um qui-quadrado aqui. No caso de independência que você usou aqui, como é chamada essa distribuição?
Michael R. Chernick
@MichaelChernick Não tenho certeza se existe um nome especial associado à distribuição. "chi-tesseracted" talvez?
27416 Francis
a e são qui-quadrado não centrais. d
Felipe Augusto de Figueiredo
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Como um qui-quadrado não central é uma soma de rv independentes, então a soma de dois qui-quadrados não centrais independentes também é um qui-quadrado não central com parâmetros que soma os parâmetros correspondentes de os dois componentes, (graus de liberdade), (parâmetro sem centralidade).X=a+bkx=ka+kbλx=λa+λb

Para obter a função de distribuição de seu quadrado , pode-se aplicar o "método CDF" (como na resposta @francis),Y=X2

FY(y)=P(Yy)=P(X2y)=P(Xy)=FX(y)

e onde

FX(x)=1Qkx/2(λx,x)

tão

FY(y)=1Qkx/2(λx,y1/4)

onde aqui é a função Q de Marcum .Q

O acima descrito aplica-se a qui-quadrados não centrais formados como somas de normais quadrados independentes, cada um com variação unitária mas média diferente.

ADENDO RESPONDIDO À EDIÇÃO DA PERGUNTA

Se os rv de base forem , então o quadrado de cada um é uma consulte https://stats.stackexchange.com/a/122864/28746 .N(0,c)Gamma(1/2,2c)

Portanto, o rv e também (parametrização em escala de forma e consulte o artigo da wikipedia para obter mais informações). propriedades aditivas para Gamma). b G a m m a ( M , 2 c ) X = a + b G a m m a ( 2 M , 2 c )aGamma(M,2c)bGamma(M,2c)X=a+bGamma(2M,2c)

Então, pode-se aplicar novamente o método CDF para encontrar o CDF do quadradoY=X2

Alecos Papadopoulos
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@FelipeAugustodeFigueiredo Desculpe, eu não estou familiarizado com rv's complexos. Minha resposta tomou como dado o fato de começarmos a partir de quadrados não centrais.
Alecos Papadopoulos
E se os rvs forem variáveis ​​aleatórias gaussianas complexas simétricas circulares com e ? σ = c Iμ=0σ=cI
Felipe Augusto de Figueiredo
vamos esquecer RV complexos. E se os rvs gerando e são gaussianos com e ? Todos os rv gaussianos têm a mesma variação, vamos chamá-lo . d μ = 0 σ 1 cadμ=0σ1c
Felipe Augusto de Figueiredo
você poderia me ajudar com a seguinte pergunta: stats.stackexchange.com/questions/253764/… . Qualquer dica seria muito apreciada. Obrigado!
Felipe Augusto de Figueiredo
@FelipeAugustodeFigueiredo Acho que não tenho algo a oferecer para essa pergunta.
Alecos Papadopoulos