O que é cov (X, Y), onde X = min (U, V) e Y = máx (U, V) para variáveis ​​normais independentes (0,1) U e V?

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Deixei:

  • U,Vi.i.d.N(0,1) , ou seja, variáveis ​​aleatórias normais padrão independentes.
  • X=min(U,V)
  • Y=max(U,V)

Qual é a covariância de X e Y ?


Relacionado: O que é cov (X, Y), onde X = min (U, V) e Y = max (U, V) para variáveis uniformes independentes (0,1) U e V?

Franck Dernoncourt
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Respostas:

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Como conseqüência direta da definição de covariância, Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y) .

Fato 1: ( soma das variáveis ​​aleatórias normalmente distribuídas )é uma variável aleatória semi-normal com o parâmetro
U,Vi.i.d.N(0,1)
UVN(0,2)
|UV|σ=2
E(|UV|)=σ2π=22π=2π

Fato 2: ( linearidade da expectativa ). Temos . Como resultado, .
E(X)+E(Y)=E(X+Y)E(X+Y)=E(min(U,V)+max(U,V))=E(U+V)=E(U)+E(V)=0+0=0E(Y)=E(X)

Fato 3:
Como: , portantoYX=|UV|
2E(Y)=E(Y)E(X)=E(YX)=E(|UV|)=2πE(Y)=22π=1π

Fato 4:
Como , temosXY=UVE(XY)=E(UV)=E(U)E(V)=0

Usando esses fatos: .Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0+E(Y)E(Y)=1π1π=1π

Franck Dernoncourt
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Deve ter um sinal negativo para - você usou vez de de fato 4. Boa resposta, no entanto. cov(X,Y)E(Y)2E(X)E(Y)
probabilityislogic
E (X) E (Y) seria o mesmo que E ^ 2 (Y). O problema é que o sinal mudou de - para +. É uma pena dar uma prova tão boa e cometer um erro descuidado no final. Eu a ignorei à primeira vista.
Michael R. Chernick
O sinal mudou como (fato 2). Postei a resposta como pensei nos leitores de O que é cov (X, Y), onde X = min (U, V) e Y = max (U, V) para variáveis ​​uniformes independentes (0,1) U e V? poderia estar interessado. \E(X)=\E(Y)
Franck Dernoncourt
Desculpe Franck de alguma forma fiquei confuso. parece que você acertou e nós errado.
Michael R. Chernick