Digamos que é uma variável aleatória com covariância . Por definição , as entradas da matriz de covariância são covariâncias: Além disso, sabe-se que as entradas da precisão satisfazem: onde o lado direito é a covariância de com condicionado em todas as outras variáveis.
Existe uma interpretação estatística para as entradas de uma raiz quadrada de ou ? Por raiz quadrada de uma matriz quadrada I significativo qualquer matriz , tal que . Uma decomposição de autovalor das referidas matrizes não fornece essa interpretação de entrada, tanto quanto posso ver.
Respostas:
Escreverei raízes quadradas matriciais de como , para ser consistente com a decomposição de Cholesky que é escrita como onde é lowtri (triangular inferior). Portanto, seja um vetor aleatório com e . Seja agora um vetor aleatório com expectativa zero e matriz de covariância unitária.Σ Σ=AAT Σ=LLT L X EX=μ VarX=Σ Z
Observe que existem (exceto no caso escalar) infinitamente muitas raízes quadradas da matriz. Se deixarmos ser um dos, podemos encontrar todos os outros como onde é qualquer matriz ortogonal, ou seja, . Isso é conhecido como liberdade unitária de raízes quadradas .A AO O OOT=OTO=I
Vejamos algumas raízes quadradas da matriz em particular.
Primeiro uma raiz quadrada simétrica. Use a decomposição espectral para escrever . Então e isso pode ser interpretado como o PCA (análise de componentes principais) de .Σ=UΛUT=UΛ1/2(UΛ1/2)T Σ1/2=UΛ1/2 Σ
A decomposição de Cholesky e é baixa. Podemos representar como . Multiplicando para obter equações escalares, obtemos um sistema triangular em , que no caso de séries temporais pode ser interpretado como uma representação MA (média móvel).Σ=LLT L X X=μ+LZ Z
O caso geral , utilizando o acima que pode interpretar esta como uma representação MA após a rotação .A=LO Z
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Uma matriz nxn pode ter muitas raízes quadradas, como você mencionou. No entanto, uma matriz de covariância deve ser semi-definida positiva e uma matriz semi-definida positiva possui apenas uma raiz quadrada que também é semi-definida positiva. Dê uma olhada no artigo da wikipedia intitulado "Raiz quadrada de uma matriz".
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Às vezes, as pessoas estão interessadas em estimar a localização dos zeros na matriz de precisão pelo mesmo motivo que você descreveu acima. Se é sua matriz raiz quadrada, ou seja, , então para os nós então, imagino que olhar o produto interno entre as colunas da sua matriz raiz quadrada estimada fornecerá um número semelhante ao quão próximos são os dois nós condicionalmente independentes. Apenas uma ideia.M M′M=Σ−1 i≠j
Σ−1i,j=0⟺M′iMj=0
A raiz quadrada da matriz de covariância é a escala. Imagino simular um vetor aleatório normal padrão e depois multiplicar pela matriz da raiz quadrada. Se essa matriz é triangular inferior, sempre imagino fazer todas as pequenas multiplicações e acréscimos.
Também existem casos individuais em que certos elementos da matriz de raiz quadrada são apenas raízes quadradas de elementos individuais da matriz de covariância. Porém, isso não é interessante, então acho que você já pensou nisso.
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