Significado de Raiz Quadrada de Covariância / Matrizes de Precisão

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Digamos que é uma variável aleatória com covariância . Por definição , as entradas da matriz de covariância são covariâncias: Além disso, sabe-se que as entradas da precisão satisfazem: onde o lado direito é a covariância de com condicionado em todas as outras variáveis.XRnΣRn×n

Σij=Cov(Xi,Xj).
Σ1
Σij1=Cov(Xi,Xj|{Xk}k=1nXi,Xj}),
XiXj

Existe uma interpretação estatística para as entradas de uma raiz quadrada de ou ? Por raiz quadrada de uma matriz quadrada I significativo qualquer matriz , tal que . Uma decomposição de autovalor das referidas matrizes não fornece essa interpretação de entrada, tanto quanto posso ver.ΣΣ1AMMtM=A

Yair Daon
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@kjetilbhalvorsen adicionou uma explicação. Varreu alguns detalhes sob o rugh, no entanto. Qual é o valor condicionado? Nenhum dado, portanto, ele deve ser calculado sobre todos os valores.
Yair Daon
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O relato que dei sobre regressão, correlação e distribuições condicionais em stats.stackexchange.com/questions/71260/… fornece construções geométricas explícitas de duas raízes quadradas diferentes da matriz de covariância inversa. Essas idéias geométricas generalizam para dimensões mais altas, fornecendo, assim, pelo menos duas interpretações estatísticas distintas e bem conhecidas (a saber, PCA e regressão múltipla).
whuber

Respostas:

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Escreverei raízes quadradas matriciais de como , para ser consistente com a decomposição de Cholesky que é escrita como onde é lowtri (triangular inferior). Portanto, seja um vetor aleatório com e . Seja agora um vetor aleatório com expectativa zero e matriz de covariância unitária.ΣΣ=AATΣ=LLTLXEX=μVarX=ΣZ

Observe que existem (exceto no caso escalar) infinitamente muitas raízes quadradas da matriz. Se deixarmos ser um dos, podemos encontrar todos os outros como onde é qualquer matriz ortogonal, ou seja, . Isso é conhecido como liberdade unitária de raízes quadradas .AAOOOOT=OTO=I

Vejamos algumas raízes quadradas da matriz em particular.

  1. Primeiro uma raiz quadrada simétrica. Use a decomposição espectral para escrever . Então e isso pode ser interpretado como o PCA (análise de componentes principais) de .Σ=UΛUT=UΛ1/2(UΛ1/2)TΣ1/2=UΛ1/2Σ

  2. A decomposição de Cholesky e é baixa. Podemos representar como . Multiplicando para obter equações escalares, obtemos um sistema triangular em , que no caso de séries temporais pode ser interpretado como uma representação MA (média móvel).Σ=LLTLXX=μ+LZZ

  3. O caso geral , utilizando o acima que pode interpretar esta como uma representação MA após a rotação .A=LOZ

kjetil b halvorsen
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+1 Re cálculo da raiz quadrada através de decomposição espectral, eu vi também. Mas isso seria diferente daquele que você mencionou, mas ambos são válidos, é verdade? Σ1/2=UΛ1/2UT
NULL
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Uma matriz nxn pode ter muitas raízes quadradas, como você mencionou. No entanto, uma matriz de covariância deve ser semi-definida positiva e uma matriz semi-definida positiva possui apenas uma raiz quadrada que também é semi-definida positiva. Dê uma olhada no artigo da wikipedia intitulado "Raiz quadrada de uma matriz".

Michael R. Chernick
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Não pedi uma raiz quadrada simétrica. Por exemplo, uma decomposição de Cholesky é suficiente para o objetivo desta pergunta.
Yair Daon
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Eu não disse que um termo na matriz de covariância não poderia ser negativo. Estou falando de uma propriedade diferente de que uma matriz de covariância é pelo menos semi-definida positiva.
Michael R. Chernick
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Às vezes, as pessoas estão interessadas em estimar a localização dos zeros na matriz de precisão pelo mesmo motivo que você descreveu acima. Se é sua matriz raiz quadrada, ou seja, , então para os nós então, imagino que olhar o produto interno entre as colunas da sua matriz raiz quadrada estimada fornecerá um número semelhante ao quão próximos são os dois nós condicionalmente independentes. Apenas uma ideia.MMM=Σ1ij

Σi,j1=0MiMj=0

A raiz quadrada da matriz de covariância é a escala. Imagino simular um vetor aleatório normal padrão e depois multiplicar pela matriz da raiz quadrada. Se essa matriz é triangular inferior, sempre imagino fazer todas as pequenas multiplicações e acréscimos.

Também existem casos individuais em que certos elementos da matriz de raiz quadrada são apenas raízes quadradas de elementos individuais da matriz de covariância. Porém, isso não é interessante, então acho que você já pensou nisso.

Taylor
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