Erros normalmente distribuídos e o teorema do limite central

Na Econometria Introdutória de Wooldridge, há uma citação:

O argumento que justifica a distribuição normal dos erros geralmente é algo como isto: como é a soma de muitos fatores não observados que afetam , podemos invocar o teorema do limite central para concluir que tem uma distribuição normal aproximada.e $u$$y$$u$

Esta citação refere-se a uma das premissas do modelo linear, a saber:

$u \sim N(μ, σ^2)$

onde $u$ é o termo de erro no modelo populacional.

Agora, até onde eu sei, o Teorema do Limite Central afirma que a distribuição de

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(onde $\overline{Y_i}$ são médias de amostras aleatórias retiradas de qualquer população com μ média $μ$e variância $σ^2$ )

se aproxima da de uma variável normal padrão como $n \rightarrow \infty$ .

Questão:

Ajude-me a entender como a normalidade assintótica de $Z_i$ implica $u \sim N(μ, σ^2)$

Isso pode ser melhor apreciado pela expressão do resultado da CLT em termos de somas de variáveis ​​aleatórias do iid. Nós temos

$$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$$

Multiplique o quociente por e use o fato de que para obter Var(cX)=c2Var(X$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$Var(cX) = c^2 Var(X)$

$$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Agora adicione ao LHS e use o fato de que para obterE [ a X + μ ] = a E [ X ] + $\mu$$\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Por fim, multiplique por e use os dois resultados acima para ver que$n$

$$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$$

E o que isso tem a ver com a afirmação de Wooldridge? Bem, se o erro for a soma de muitas variáveis ​​aleatórias iid , ele será distribuído aproximadamente normalmente normalmente, como acabamos de ver. Mas há uma questão aqui, a saber, que os fatores não observados não serão necessariamente distribuídos de forma idêntica e talvez nem sejam independentes!

No entanto, o CLT foi estendido com sucesso a variáveis ​​aleatórias independentes, não identicamente distribuídas e até a casos de dependência leve, sob algumas condições adicionais de regularidade. Essas são condições essencialmente que garantem que nenhum termo na soma exerça influência desproporcional sobre a distribuição assintótica. Veja também a página da Wikipedia na CLT . Você não precisa conhecer esses resultados, é claro; O objetivo de Wooldridge é meramente fornecer intuição.

Espero que isto ajude.