Uma dica útil seria apreciada porque parece que não consigo descobrir como calcular o valor esperado
Um lote contém 17 itens, cada um dos quais sujeito a inspeção por dois engenheiros de garantia de qualidade. Cada engenheiro seleciona aleatoriamente e independentemente 4 itens do lote. Determine o número esperado de itens selecionados por:
uma. ambos os engenheiros b. nenhum engenheiro c. exatamente um engenheiro.
self-study
expected-value
indicator-function
jollygood18
fonte
fonte
Respostas:
Este é um exercício para usar variáveis indicadoras. Um indicador tem o valor para indicar que alguma condição é válida e, caso contrário, tem o valor . Problemas aparentemente difíceis sobre probabilidade e expectativa podem ter soluções simples que exploram indicadores e linearidade de expectativa - mesmo quando as variáveis aleatórias envolvidas não são independentes. Para aqueles que são novos nessas idéias, detalhes completos são fornecidos abaixo.1 1 0 0
Ligue para os engenheiros "X" e "Y". Seleção do modelo X por meio de variáveis indicadoras , onde17 XEu, i = 1 , 2 , … , 17
Da mesma forma, defina as variáveis indicadoras para a seleção de Y.Yi
Podemos expressar as condições no problema algebricamente:
O número total selecionado por éX
Claramente, todas as variáveis são identicamente distribuídas. Vamos ser a sua expectativa comum. Porque34 μ
nós deduzimos
Embora as variáveis não sejam independentes, o é assumido independente do .Xi Yi
uma. Número esperado de itens selecionados por ambos
O número total de itens selecionados por ambos é a soma do . Assim, o número esperado éXiYi
A independência de e era necessária para expressar cada como o produto de e .Xi Yi E[XiYi] E[Xi] E[Yi]
b. Número esperado de itens selecionados por nenhum
O número total de itens selecionados por nenhum dos dois é a soma de . Como todos os são independentes de todos os , exatamente o mesmo método usado em (a) se aplica; a única alteração é que é substituído por . O valor deve ser(1−Xi)(1−Yi) 1−Xi 1−Yi 4/17 E[1−Xi]=E[1−Yi]=13/17
c. Número esperado de itens selecionados por exatamente um
Isso pode ser resolvido como em (a) ou (b), dando como a chance de ser selecionado apenas por X e como a chance de ser selecionado apenas por Y. A resposta é a soma desses eventos (disjuntos), iguais a .4/17×13/17=52/17 13/17×4/17=52/17 104/17
Um atalho (ou cheque do trabalho) é a nota que cada item cai exatamente uma das categorias tanto , nem , ou exatamente um , e, portanto, a resposta deve ser a diferença entre o total ( ) e a soma das respostas a (a) e (b):17
Verificar via simulação
Vamos realizar 10.000 (digamos) simulações dessas seleções e acompanhar os resultados. Podemos produzir (a) o número médio de itens selecionados por ambos, (b) o número médio de itens selecionados por nenhum dos dois e (c) o número médio de itens selecionados por exatamente um. Abaixo desta saída, como referência, vamos imprimir as respostas dadas em (a), (b) e (c). Não tentaremos ser eficientes: o objetivo é modelar o processo de seleção conforme descrito e contar os eventos diretamente, sem truques aritméticos. Aqui está um
R
código que faz isso de uma maneira bastante perspicaz e ainda leva apenas cerca de um segundo:As duas linhas de saída - média em muitas tentativas simuladas e respostas teóricas fornecidas anteriormente - são próximas o suficiente para apoiar a correção das respostas:
fonte