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Seja variáveis ​​aleatórias independentes.$X_i\sim\text{Gamma}(\alpha,p_i),i=1,2,...,n+1$

Defina e . Mostre que são distribuídos independentemente.$Z_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i$$Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1$$Z_1,Z_2,...,Z_{n+1}$

A densidade da junta de é dada por$(X_1,...,X_{n+1})$

Transformamos modo que$\mathbf X=(X_1,\cdots,X_{n+1})\mapsto\mathbf Z=(Z_1,\cdots,Z_{n+1})$

$Z_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i$ e$Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1$

$\implies x_{n+1}=z_1z_{n+1},$

$\qquad x_n=z_1z_n(1-z_{n+1}),$

$\qquad x_{n-1}=z_1z_{n-1}(1-z_n)(1-x_{n+1}),$

$\qquad\vdots$

$\qquad x_3=z_1z_3\prod_{j=4}^{n+1}(1-z_j)$

$\qquad x_2=z_1z_2\prod_{j=3}^{n+1}(1-z_j)$

$\qquad x_1=z_1\prod_{j=2}^{n+1}(1-z_j)$ , em que e$0<z_1<\infty$$0<z_i<1,\quad i=2,3,\cdots,n+1$

O jacobiano da transformação é$J=\dfrac{\partial(x_1,...,x_{n+1})}{\partial(z_1,...,z_{n+1})}=\det\begin{pmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial z_1} &\cdots& \frac{\partial x_1}{\partial z_{n+1}} \\ &\ddots\\\frac{\partial x_{n+1}}{\partial z_1} &\cdots& \frac{\partial x_{n+1}}{\partial z_{n+1}}\\\end{pmatrix}$

Executando a operação , obtemos como o determinante de$R_1'=\sum_1^{n+1}R_i$$J$

$\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0&0 \\z_2\prod_3^{n+1}(1-z_j)& z_1\prod_3^{n+1}(1-z_j) \\ z_3\prod_4^{n+1}(1-z_j)&0& z_1\prod_4^{n+1}(1-z_j)\\&&&\ddots\\z_n(1-z_{n+1})&0&0&\cdots&z_1(1-z_{n+1})& -z_1z_n \\z_{n+1}&0&0 &\cdots&0& z_1\\\end{pmatrix}$

que é igual a .$z_1^n(1-z_3)(1-z_4)^2...(1-z_n)^{n-2}(1-z_{n+1})^{n-1}$

Após alguma simplificação, obtemos a densidade conjunta de como$\bf Z$

$f_{\bf Z}(z_1,...,z_{n+1})=\prod_{i=1}^{n+1}f_{Z_i}(z_i)$

onde$Z_1\sim \text{Gamma}(\alpha,\sum_1^{n+1}p_i),$

$\qquad Z_2\sim \text{Beta}_1(p_1,p_2),$

$\qquad Z_3\sim \text{Beta}_1(p_3,p_1+p_2),$

$\qquad \vdots$

$\qquad Z_{n+1}\sim \text{Beta}_1(p_{n+1},\sum_1^np_i)$ ,

com e ,$0<z_1<\infty$$0<z_i<1,\quad i=2,3,\cdots,n+1$

$\alpha>0$ e para .$p_i>0$$i=1,2,...,n+1$

Escusado será dizer que encontrar as soluções inversas e avaliar o jacobiano era complicado e demorado. Além de fazer o trabalho, também determina as distribuições dos 's.$x_i$$Z_i$

Existe alguma maneira mais simples de mostrar apenas a independência dos 's?$Z_i$

Vou provar a afirmação equivalente.

Seja , , , sejam independentes. Denota , ; , . Então , , , e são independentes e .$n\ge 1$$X_k\sim \Gamma(\alpha,p_k)$$k=1,\dots,n+1$$S_k = X_1+\dots+X_k$$k=1,\dots,n+1$$R_k = \frac{S_k}{S_{k+1}}$$k=1,\dots,n$$R_1$$R_2$$\dots$$R_{n}$$S_{n+1}$$S_{n+1}\sim \Gamma(\alpha,p_1+\dots + p_{n+1})$

Observação Na notação OP, , , .$Z_1=S_{n+1}$$Z_k = 1 - R_{k-1}$$k=2,\dots,n+1$

Prova . é fácil (e bem conhecido).$n=1$

$n-1\Rightarrow n$ .

Por hipótese de indução e independência, os vetores e são independentes. Portanto, os vetores e são independentes. Ambos os vetores têm componentes independentes: por hipóteses de indução, por base de indução. Portanto, seus componentes são variáveis ​​aleatórias independentes.$\mathbf{R} = (R_1,\dots,R_{n-1})$$(S_{n},X_{n+1})$$\mathbf{R}$$\big(\frac{S_{n}}{S_{n}+X_{n+1}},S_{n}+X_{n+1}\big) = (R_n,S_{n+1})$$\mathbf R$$(R_n,S_{n+1})$

Não há problema em incluir a distribuição de na instrução, a prova não será alterada. A distribuição de já está lá: preciso dizer que a independência de e segue a base de indução.$R_n$$S_n$$R_n$$S_{n+1}$