Eu tive uma pergunta estranha quando estava experimentando algumas otimizações convexas. A questão é:
Suponha que eu aleatoriamente (digamos distribuição normal padrão) gere uma matriz simétrica (por exemplo, eu gere matriz triangular superior e preencha a metade inferior para garantir que seja simétrica), qual é a chance de ser uma definição definitiva positiva matriz? Existe alguma maneira de calcular a probabilidade?
Respostas:
Se as matrizes são desenhados a partir das entradas iid padrão normal, a probabilidade de ser definida positiva é de aproximadamentepN≈3−N2/4 , por exemplo, se N=5 , a possibilidade é 1/1000, e desce bastante rápido depois disso. Você pode encontrar uma discussão extensa sobre esta questão aqui .
Você pode, de alguma maneira, intuir essa resposta aceitando que a distribuição de autovalor da sua matriz será aproximadamente semicírculo de Wigner , que é simétrico em relação a zero. Se os valores próprios estavam todos independentes, você teria um(1/2)N chance de positivo-definiteness por essa lógica. Na realidade, você obtém o comportamento de N2 , devido a correlações entre valores próprios e as leis que regem grandes desvios de valores próprios, especificamente o menor e o maior. Especificamente, autovalores aleatórios são muito parecidos com partículas carregadas e não gostam de estar próximos um do outro, portanto, eles se repelem (estranhamente, com o mesmo campo potencial das partículas carregadas, ∝1/r , em quer é a distância entre valores próprios adjacentes). Pedir a todos que sejam positivos seria, portanto, um pedido muito alto.
Além disso, por causa das leis de universalidade em teoria matriz aleatória, suspeito fortemente a probabilidade de cimapN , provavelmente, ser o mesmo para essencialmente qualquer matriz aleatória "razoável", com entradas iid que têm média e desvio padrão finito.
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