Lambda - Interpretação exponencial vs. Poisson

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Estou tentando entender o papel do nas distribuições Poisson e exponencial e como ele é usado para encontrar probabilidades (sim, eu li o outro post sobre esse tópico, não o fez por mim).λ

O que (eu acho) eu entendo:

  1. Distribuição de veneno -

    • discreto

    • λ é definido como o número médio de sucessos (no entanto, "sucesso" é definido, dado o contexto do problema) por unidade de tempo ou espaço

    • PMF:  P(X=k;λ)=λkeλk!

    • P(Xk)=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) +  + P(X=k)

    • P(X<k)=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) +  + P(X=k  1)

    • P(Xk)=1  P(X<k)

    • P(X>k)=1  P(Xk)

  2. Distribuição Exponencial -

    • contínuo

    • λ é definido como o tempo / espaço médio entre eventos (sucessos) que seguem uma Distribuição de Poisson

    • Onde meu entendimento começa a desaparecer:

    • PDF:  f(x;λ) = λeλx

    • CDF:P(Xk;λ) = 1  eλx

    • P(X>k;λ) = 1  P(Xk;λ) = eλx

Onde eu acho que o mal-entendido está:

A partir de agora, estou assumindo que pode ser trocado entre as duas distribuições. É esse o caso? Eu li brevemente sobre "re-parametrizar" e acho que pode ser a chave, mas não sei a que esse processo está se referindo. Como faço isso e como isso afeta o PMF e o CDF da distribuição exponencial?λ

Tudo isso veio de um problema ao perguntar: Dada uma variável aleatória X que segue uma distribuição exponencial com lambda = 3, encontre P (X> 8). Minha abordagem foi , o que fornece uma probabilidade que parece muito baixa.e38

Marshall McQuillen
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Respostas:

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Suponha que eu esteja esperando um ônibus em uma parada. E suponha que um ônibus geralmente chegue à parada a cada 10 minutos. Agora defino λ como a taxa de chegada de um ônibus por minuto . Então, λ = (1/10).

Agora eu quero calcular a probabilidade de que nenhum ônibus chegue no próximo minuto. Eu posso fazer isso usando a distribuição poisson e a exponencial.

Poisson

λ = 1/10

Probabilidade de 0 chegadas no próximo minuto: P (X = 0) = 0,9048

Exponencial

λ = 1/10

Probabilidade de ter que esperar mais de um minuto: P (X> 1) = 0,9048

Nota: Veja os valores esperados de ambas as distribuições. Para Poisson, obtemos que o número médio de ônibus que chegam por minuto E (X) = λ = 0,10 ônibus. Por exponencial, o tempo médio de espera para um ônibus chegar E (X) = (1 / λ) = 10 minutos

mohit tuteja
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O fato de ambas as distribuições usarem o mesmo parâmetro é provavelmente uma coincidência decorrente da convenção de notação. Afinal, uma variável aleatória é discreta e a outra é contínua. Eles nunca devem modelar exatamente a mesma coisa.

No entanto, às vezes não é uma coincidência. Uma instância em que esses parâmetros podem significar coisas semelhantes e em que você pode usar qualquer uma dessas distribuições na mesma tarefa de modelagem é quando você está usando um processo de Poisson . Isso seria útil em uma situação em que você está modelando coisas que chegam aleatoriamente no tempo (por exemplo, recebendo mensagens no seu celular). Digamos que você comece a medir no tempo . Corrigindo a qualquer momento , você poderia chamar o total recebido por esse tempo e assumir aqui é uma taxa medida em chamadas por unidade de tempo.0t>0Nt

NtPoisson(λt);
λ

Você também pode observar os tempos de espera entre os textos e assumir que aqui também é uma taxa (se você estiver escrevendo a densidade do jeito que está nesta questão). Os horários de chegada de cada mensagem de texto são as somas parciais .X1,X2,

XiiidExponential(λ);
λSn=i=1nXi

A relação entre essas duas distribuições nessa situação específica é a seguinte: dado um número e um tempo , No caso especial em que , ambas as expressões são iguais a .nt

P(Snt)=P(Ntn).
n=t=11eλ
Taylor
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Então pode ser trocado entre as duas distribuições? A razão pela qual pergunto é porque, a partir dessa fonte , existe uma proposição que diz: "O número de ocorrências de um evento dentro de uma unidade de tempo tem uma distribuição Poisson com o parâmetro se o tempo decorrido entre duas ocorrências sucessivas do evento tiver uma distribuição exponencial com o parâmetro e é independente das ocorrências anteriores, "Isso me faz pensar que posso trocar entre as duas equações. λλλλ
Marshall McQuillen
@MarshallMcQuillen é isso que eu respondi. Você pode não lambda “intercâmbio” no caso de um processo de Poisson, mas as duas variáveis aleatórias compartilhar uma fórmula para diferentes probabilidades
Taylor
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As lambdas são intercambiáveis ​​em certos contextos. Suponha que eu esteja medindo a radioatividade com um contador Geyger . Em um caso, significa que, em média, recebo 2 cliques por segundo, e o tempo médio entre cliques é de segundo. O número de cliques por segundo é de uma distribuição Poisson e o tempo entre cliques é de uma distribuição exponencial, com ambos tendo .λ=21/2λ=2

Aksakal
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Isso, da Wikipedia, resume o relacionamento de uma maneira simples?

Se para cada t> 0 o número de chegadas no intervalo de tempo [0, t] segue a distribuição de Poisson com média λt, a sequência de tempos entre chegadas é independente e variáveis ​​aleatórias exponenciais aleatórias distribuídas identicamente com média 1 / λ.

Referência: SM Ross (2007). Introdução aos modelos de probabilidade (nona ed.). Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-598062-3 . pp. 307–308.

Matt Wenham
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Como indicado na resposta de Taylor, existe uma conexão entre a distribuição exponencial e a distribuição de Poisson através da equivalência de certas declarações de probabilidade relacionadas a elas em um processo de Poisson. Matematicamente, essa equivalência vem de uma propriedade de recorrência da função gama incompleta, que pode ser usada para mostrar a equivalência probabilística em questão.

Em um processo de Poisson, temos eventos que ocorrem em uma taxa especificada e podemos analisar o processo observando o tempo entre os eventos ou o número de eventos em um determinado momento. Para fazer o primeiro, seja o tempo entre os eventos no processo e defina as somas parciaisλ>0X1,X2,X3,...IID Exp(λ)Sni=1nXi , que representa o tempo necessário para a primeiraneventos. Então nós temosSnGa(n,λ) de modo a:

P(Snt)=1P(Sn>t)=1tGa(s|n,λ)ds=1λnΓ(n)tsn1exp(λs)ds=11Γ(n)t(λs)n1exp(λs)λds=11Γ(n)λtrn1exp(r)dr=1Γ(n,λt)Γ(n).

Usando a integração por partes, a função gama incompleta superior segue a recorrência:

Γ(n,x)=(n1)Γ(n1,x)+xn1exp(x)Γ(1,x)=exp(x).

Para o número inteiro , a aplicação repetida dessa recorrência gera:n

Γ(n,x)=Γ(n)exp(x)k=0n1xkk!.

Então, deixando temos:NtPois(λt)

P(Snt)=1exp(λt)k=0n1(λt)kk!=1k=0n1Pois(k|λt)=k=nPois(k|λt)=P(Ntn).

Isso nos dá um resultado intuitivo básico para o processo de Poisson. Se o tempo gasto para os primeiros eventos não for maior que , o número de eventos que ocorreram no tempo será pelo menos . Se o tempo entre os eventos segue uma distribuição exponencial, o número de eventos em um determinado momento segue uma distribuição de Poisson.nttn

Ben - Restabelecer Monica
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