Estou tentando entender o papel do nas distribuições Poisson e exponencial e como ele é usado para encontrar probabilidades (sim, eu li o outro post sobre esse tópico, não o fez por mim).
O que (eu acho) eu entendo:
Distribuição de veneno -
discreto
é definido como o número médio de sucessos (no entanto, "sucesso" é definido, dado o contexto do problema) por unidade de tempo ou espaço
PMF:
Distribuição Exponencial -
contínuo
é definido como o tempo / espaço médio entre eventos (sucessos) que seguem uma Distribuição de Poisson
Onde meu entendimento começa a desaparecer:
PDF:
CDF:
Onde eu acho que o mal-entendido está:
A partir de agora, estou assumindo que pode ser trocado entre as duas distribuições. É esse o caso? Eu li brevemente sobre "re-parametrizar" e acho que pode ser a chave, mas não sei a que esse processo está se referindo. Como faço isso e como isso afeta o PMF e o CDF da distribuição exponencial?
Tudo isso veio de um problema ao perguntar: Dada uma variável aleatória X que segue uma distribuição exponencial com lambda = 3, encontre P (X> 8). Minha abordagem foi , o que fornece uma probabilidade que parece muito baixa.
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As lambdas são intercambiáveis em certos contextos. Suponha que eu esteja medindo a radioatividade com um contador Geyger . Em um caso, significa que, em média, recebo 2 cliques por segundo, e o tempo médio entre cliques é de segundo. O número de cliques por segundo é de uma distribuição Poisson e o tempo entre cliques é de uma distribuição exponencial, com ambos tendo .λ=2 1/2 λ=2
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Isso, da Wikipedia, resume o relacionamento de uma maneira simples?
Referência: SM Ross (2007). Introdução aos modelos de probabilidade (nona ed.). Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-598062-3 . pp. 307–308.
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Como indicado na resposta de Taylor, existe uma conexão entre a distribuição exponencial e a distribuição de Poisson através da equivalência de certas declarações de probabilidade relacionadas a elas em um processo de Poisson. Matematicamente, essa equivalência vem de uma propriedade de recorrência da função gama incompleta, que pode ser usada para mostrar a equivalência probabilística em questão.
Em um processo de Poisson, temos eventos que ocorrem em uma taxa especificada e podemos analisar o processo observando o tempo entre os eventos ou o número de eventos em um determinado momento. Para fazer o primeiro, seja o tempo entre os eventos no processo e defina as somas parciaisλ>0 X1,X2,X3,...∼IID Exp(λ) Sn≡∑ni=1Xi , que representa o tempo necessário para a primeiran eventos. Então nós temosSn∼Ga(n,λ) de modo a:
Usando a integração por partes, a função gama incompleta superior segue a recorrência:
Para o número inteiro , a aplicação repetida dessa recorrência gera:n
Então, deixando temos:Nt∼Pois(λt)
Isso nos dá um resultado intuitivo básico para o processo de Poisson. Se o tempo gasto para os primeiros eventos não for maior que , o número de eventos que ocorreram no tempo será pelo menos . Se o tempo entre os eventos segue uma distribuição exponencial, o número de eventos em um determinado momento segue uma distribuição de Poisson.n t t n
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