Distribuição da relação Gaussiana: Derivadas em 's e s

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Estou trabalhando com duas distribuições normais independentes e , com médias e e variações e .XYμxμyσx2σy2

Eu sou interessado na distribuição do seu rácio . Nem nem têm uma média de zero, então não é distribuído como um Cauchy.Z=X/YXYZ

Preciso encontrar o CDF de e, em seguida, obter a derivada do CDF com relação a , , e .Zμxμyσx2σy2

Alguém conhece um artigo onde estes já foram calculados? Ou como fazer isso sozinho?

Encontrei a fórmula para o CDF em um artigo de 1969 , mas tomar esses derivados será definitivamente uma dor enorme. Talvez alguém já tenha feito isso ou saiba como fazê-lo facilmente? Eu preciso principalmente conhecer os sinais desses derivados.

Este artigo também contém uma aproximação analiticamente mais simples se for principalmente positivo. Eu não posso ter essa restrição. No entanto, talvez a aproximação tenha o mesmo sinal que a derivada verdadeira mesmo fora da faixa de parâmetros?Y

abc
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4
Eu adicionei para você. Você escreveu "sigma", mas mencionou que eram variações, então eu as fiz ao quadrado do sigma. Certifique-se de que ainda diz o que deseja perguntar. TEX
gung - Restabelece Monica
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en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution possui a função de densidade de probabilidade.
Douglas Zare
2
Esse é o mesmo PDF do artigo acima. Estou tentando usar a derivada do CDF com relação aos mus e sigmas subjacentes.
ABC
2
A fórmula do pdf encontrado por David Hinkley é totalmente em formato fechado. Então você pode pegar esses derivados, um passo de cada vez. Estou realmente curioso sobre o ponto de fazer tais derivações como não há razão o sinal deve ser constante uniformemente sobre os números reais ...
Xi'an
2
@ABC Você pode encontrar a densidade de na equação 1 deste artigo . Eu trabalhei nisso há algum tempo e concorda com o resultado de Hinkley e o resultado de Marsaglia . Ele pode ser deduzido pela força bruta, como sugere Douglas Zare (eu fiz isso, recomendado apenas se você realmente precisar). X/Y

Respostas:

1

Alguns trabalhos relacionados:

Wiki: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

  1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

  2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

  3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

Quantum
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Bem-vindo ao site, @Quantum. Você se importaria em dar um breve resumo desses trabalhos, para que os leitores possam julgar se são o que estão procurando sem ter que abrir e ler cada um?
gung - Restabelece Monica
@ gung Sim, eu me importo ... Brincadeirinha. Estes são os artigos mais recentes sobre o assunto, contendo a expressão para a densidade de , com o melhor de meu conhecimento. O tópico não é muito quente, por isso é provável que esta lista esteja atualizada, a menos que você esteja lendo isso no ano 2527.Z=X/Y
Quantum
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Quantum - Isso não trata da preocupação do @ gung. As respostas somente para links geralmente não são aceitáveis. Gung perguntou se você poderia "dar um breve resumo desses documentos" (significando "em sua resposta"). Sua descrição coletiva em um comentário não é suficiente. Forneça uma breve descrição de cada link (se possível, individualmente, não coletivamente) que indique por que você o incluiu / por que é relevante. Como está, sua resposta potencialmente útil corre o risco de ser convertida em um comentário - como já aconteceu com as respostas anteriores somente por link a esta pergunta.
Glen_b -Replica Monica
Não entendo por que a expectativa da relação não existe. Se e Y são normalmente distribuídos em conjunto com média diferente de zero, então a média de Z = XXY é dado porxZ=XY, o que estou perdendo? xyp(x,y)dxdy
Royi
Whay que está faltando é o fato tha a densidade de é contínua e positiva em zero, de modo que não é gerado caudas pesadas ...y
b Kjetil Halvorsen
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Considere usar um pacote matemático simbólico como o Mathematica, se você tiver uma licença, ou o Sage, se não tiver.

Se você está apenas fazendo um trabalho numérico, também pode considerar a diferenciação numérica.

Embora tedioso, parece direto. Ou seja, todas as funções envolvidas têm fácil calcular derivativos. Você pode usar diferenciação numérica para testar seu resultado quando terminar, para ter certeza de que tem a fórmula certa.

Dave31415
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Esse é o tipo de problema que é muito fácil numericamente e também menos propenso a erros. Como você diz que precisa apenas dos sinais, presumo que aproximações numéricas precisas sejam mais do que suficientes para suas necessidades. Aqui está um código com um exemplo da derivada contra : μx

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
} 
AaronDefazio
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