Valor esperado e variação da função de rastreio

Para variáveis ​​aleatórias , e uma matriz semi-definida positiva A : Existe uma expressão simplificada para o valor esperado, E [ T r ( X T A X ) ] e variância, V a r [ T r ( X T A X ) ] ? Observe que A não é uma variável aleatória.$X \in \mathbb{R}^h$$A$$\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$$Var[Tr(X^TAX)]$$A$

Como $X^TAX$ é um escalar,

$$\text{Tr}(X^TAX)= X^TAX = \text{Tr}(AXX^T)$$ modo que $$\text{E}(X^TAX) = \text{E}(\text{Tr}(AXX^T)) = \text{Tr}(\text{E} (A XX^T)) = \text{Tr}(A\text{E}(XX^T))$$ .

Aqui, usamos que o rastreio de um produto é invariável sob permutações cíclicas dos fatores e que o rastreio é um operador linear, portanto, comuta com expectativa. A variância é um cálculo muito mais envolvido, que também precisa de alguns momentos mais altos de $X$ . Esse cálculo pode ser encontrado em Seber: "Análise de regressão linear" (Wiley)