A transformação linear dos vetores gaussianos normais

Estou enfrentando dificuldades para provar a seguinte declaração. É dado em um trabalho de pesquisa encontrado no Google. Preciso de ajuda para provar esta afirmação!

Seja $X= AS$ , onde $A$ é matriz ortogonal e $S$ é gaussiano. O comportamento isotópico do Gaussiano $S$ que tem a mesma distribuição em qualquer base ortonormal.

Como é $X$ Gaussian depois de aplicar $A$ em $S$ ?

Como você não se vinculou ao artigo, não conheço o contexto dessa citação. No entanto, é uma propriedade bem conhecida da distribuição normal que transformações lineares de vetores aleatórios normais são vetores aleatórios normais . Se , pode ser mostrado que . A prova formal desse resultado pode ser realizada com bastante facilidade usando funções características.$\boldsymbol{S} \sim \text{N}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$$\boldsymbol{A} \boldsymbol{S} \sim \text{N}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{A}^\text{T})$

Para um pouco de visualização, considere que a distribuição gaussiana é dimensionada por r ^ 2, de modo que múltiplos eixos independentes formam uma relação pitagórica quando dimensionados por seus desvios padrão. dimensões) e pode ser girado sobre o centro conforme sua conveniência.

Uma das medidas radiais é a distância de Mahalanobis e é útil em muitos casos práticos em que o limite central é aplicado ...