A Senhora A seleciona um número

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A Senhora A seleciona um número X aleatoriamente da distribuição uniforme em [0,1] . Em seguida, o Sr. B repetidamente, e de forma independente, números de chama Y1,Y2,...da distribuição uniforme em [0,1] , até que ele obtenha um número maior que X2 e depois para. A soma esperada do número que o Sr. B desenha, dadoX=x, é igual?

A resposta para isso é 1(2x) . Eu obtive o número esperado de empates comoln4tomandoZcomo uma variável aleatória para o número de empates que segue a distribuição geométrica com o parâmetrop=1x2 . Mas não sei como calcular a soma esperada deYi. Qualquer ajuda seria apreciada.

Shreya Bhandari
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Respostas:

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Embora você não tenha incluído a self-studytag, primeiro dou duas dicas e depois a solução completa. Você pode parar de ler após a primeira ou a segunda dica e tentar você mesmo.

Dica 1 :

Para a(0,1) temos

m=0mam=a(1a)2

Dica 2 :

Vamos ser o número de números sorteados pelo Sr. B. E deixe o seu "variável-alvo", E ( Y 1 + ... + Y K | X = x ) ser denotado por Z . Observe que essa é uma variável aleatória, não um número real (já que K é uma variável aleatória). Então, pela lei da expectativa total, E ( Z ) = E ( E ( Z | K ) ) .KE(Y1++YK|X=x)ZKE(Z)=E(E(Z|K))

Solução completa :

segue, como você mencionou, distribuição geométrica com probabilidade de sucesso p = 1 - xK . Então, E(Z)=E(E(Z|K))=Σ k=1E(Z|K=k)P(K=k)p=1x2

E(Z)=E(E(Z|K))=k=1E(Z|K=k)P(K=k)

P(K=k)=(1p)k1p=(x2)k1(1x2)

E(Z|K=k)E(Y1++Yk|X=x,K=k)kY

E(Y1|X=x,K=k)++E(Yk|X=x,K=k)

X=xK=kY1,,Yk1[0,x2)Yk(x2,1]

E(Y1|X=x,K=k)==E(Yk1|X=x,K=k)=x4

E(Yk|X=x,K=k)=1+x22=2+x4

E(Z|K=k)=(k1)x4+2+x4

E(Z)=k=1((k1)x4+2+x4)P(K=k)=k=1(k1)x4P(K=k)+k=12+x4P(K=k)

A segunda parte é fácil (a última igualdade usa o fato de que a soma da função de massa de probabilidade chega a 1):

k=12+x4P(K=k)=2+x4k=1P(K=k)=2+x4

(x2,1]K

A primeira parte é apenas um pouco mais difícil:

k=1(k1)x4P(K=k)=k=1(k1)x4(x2)k1(1x2)

k

x4(1x2)k=1(k1)(x2)k1

m=k1

x4(1x2)m=0m(x2)m

a=x2

x4(1x2)x2(1x2)2

x28(1x2)=x28(2x2)=x24(2x)

x24(2x)+2+x4=x24(2x)+(2+x)(2x)4(2x)=x2+(4x2)4(2x)=44(2x)=12x

WHOAH !!!!

Łukasz Deryło
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Gênio!!!! Estou mais do que agradecido! : D
Shreya Bhandari
O prazer é meu. Realmente. Eu gostei desse "enigma" ☺
Łukasz Deryło
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Outro ângulo de solução (somando não P (K = k), mas P (K> = k)):

E(Yk)=E(Yk)=k=1E(Yk|K>=k)P(K>=k)=k=012(x2)k=12x
Sextus Empiricus
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Você poderia elaborar? Não
obtive
(x2)k1Yk
E(Yk)=12(x2)k1
P(Kk)Kth1x2k1x2
0.5(1x2)+0.5(x2)
k=1E(Yk|K>=k)P(K>=k)Ykk