Nota: este é um problema de lição de casa, portanto, não me dê a resposta completa!

Eu tenho duas variáveis, A e B, com distribuições normais (médias e variações são conhecidas). Suponha que C seja definido como A com 50% de chance e B com 50% de chance. Como eu iria provar se C também é normalmente distribuído e, em caso afirmativo, qual é sua média e variação?

Não sei como combinar os PDFs de A e B dessa maneira, mas, idealmente, se alguém puder me apontar na direção certa, meu plano de ataque é obter o PDF de C e mostrar se é ou não um variação do PDF normal.

Espero que esteja claro para você que C não é garantido que seja normal. No entanto, parte da sua pergunta era como escrever seu PDF. @BallpointBen deu uma dica. Se isso não for suficiente, aqui estão mais alguns spoilers ...

Observe que C pode ser escrito como: para um aleatório de Bernoulli com com independente de . Esta é mais ou menos a tradução matemática padrão da afirmação em inglês "C é A com 50% de chance e B com 50% de chance".

$$C = T \cdot A + (1-T) \cdot B$$ $T$$P(T=0)=P(T=1)=1/2$$T$$(A,B)$

Agora, é difícil determinar o PDF de C diretamente a partir disso, mas é possível progredir anotando a função de distribuição de C. É possível particionar o evento em dois subeventos (dependendo do valor de ) para gravar :$F_C$$C \leq X$$T$

$$F_C(x) = P(C \leq x) = P(T = 0 \text{ and } C \leq x) + P(T = 1\text{ and C }\leq x)$$

e observe que, pela definição de C e pela independência de T e B, você tem:

$$P(T=0\text{ and }C \leq x) = P(T=0\text{ and }B\leq x) = \frac12P(B\leq x) = \frac12 F_B(x)$$

Você deve poder usar um resultado semelhante no caso para escrever em termos de e . Para obter o PDF de C, apenas diferencie em relação a x.$T=1$$F_C$$F_A$$F_B$$F_C$

A simulação de uma mistura aleatória 50-50 de e é ilustrada abaixo. Simulação em R.$\mathsf{Norm}(\mu=90, \sigma=2)$$\mathsf{Norm}(\mu=100, \sigma=2)$

set.seed(827);  m = 10^6
x1 = rnorm(m, 100, 2);  x2 = rnorm(m, 90, 2)
p = rbinom(m, 1, .5)
x = x1;  x[p==1] = x2[p==1]
hist(x, prob=T, col="skyblue2", main="Random 50-50 Mixture of NORM(90,2) and NORM(100,2)")
  curve(.5*(dnorm(x, 100, 2) + dnorm(x, 90, 2)), add=T, col="red", lwd=2)

Uma maneira de trabalhar com isso é analisá-lo, pois a variação tende a 0. Dessa forma, você obteria uma distribuição do tipo Bernoulli, que (claramente) não é uma distribuição normal.

Esse é o tipo de problema em que é muito útil usar o conceito de CDF, a função cumulativa de distribuição de probabilidade, de variáveis ​​aleatórias, esse conceito totalmente desnecessário que os professores arrastam apenas para confundir os alunos que estão felizes em usar apenas pdfs.

Por definição, o valor do CDF de uma variável aleatória é igual à probabilidade de que não seja maior que o número real , ou seja, Agora, a lei da probabilidade total nos diz que se é igualmente provável que seja uma variável aleatória ou uma variável aleatória , então ou, em outras palavras, $F_X(\alpha)$$X$$X$$\alpha$

$$F_X(\alpha) = P\{X \leq \alpha\}, ~-\infty < \alpha < \infty.$$ $X$$A$$B$ $$P\{X \leq \alpha\} = \frac 12 P\{A \leq \alpha\} + \frac 12 P\{B \leq \alpha\},$$ $$F_X(\alpha\} = \frac 12 F_A(\alpha\} + \frac 12 F_B(\alpha\}.$$ Lembrando-se de como seu professor era chato de falar sobre como para variáveis ​​aleatórias contínuas o pdf é a derivada do CDF, obtemos que que responde a uma de suas perguntas.No caso especial das variáveis ​​aleatórias normais e , você pode descobrir se fornece uma densidade normal para ou não? Se você está familiarizado com as noções como você pode descobrir, substituindo o lado direito de para em $$f_X(\alpha\} = \frac 12 f_A(\alpha\} + \frac 12 f_B(\alpha\} \tag{1}$$ $A$$B$$(1)$$X$ $$E[X] = \int_{-\infty}^\infty \alpha f_X(\alpha\} \, \mathrm d\alpha, \tag{2}$$ $(1)$$f_X(\alpha)$$(2)$e pensando na expressão, o que é em termos de e ?$E[X]$$E[A]$$E[B]$

$C$ não é distribuído normalmente, a menos que e sejam distribuídos de forma idêntica. Se e forem distribuídos de forma idêntica, também será distribuído de forma idêntica.$A$$B$$A$$B$$C$

Prova

Seja , e as funções de distribuição cumulativa (CDFs) de A, B e C, respectivamente, e , e suas funções de densidade de probabilidade (PDFs), ie$F_A$$F_B$$F_C$$f_A$$f_B$$f_C$

$$\begin{array}{l} F_A(x) = \Pr(A < x), \\ F_B(x) = \Pr(B < x), \\ F_C(x) = \Pr(C < x), \\ f_A(x) = \frac{d}{dx}F_A(x), \\ f_B(x) = \frac{d}{dx}F_B(x),\text{ and} \\ f_C(x) = \frac{d}{dx}F_C(x). \end{array}$$

Também temos dois eventos:

• $\Gamma_1$ , que é quando é definido como , o que ocorre com probabilidade$C$$A$$\gamma$
• $\Gamma_2$ , que é quando é definido como , que ocorre com probabilidade$C$$B$$1 - \gamma$

De acordo com a lei da probabilidade total ,

$$\begin{array}{rl} F_C(x) \!\!\!\! & = Pr(C < x)\\ & = \Pr(C < x\ |\ \Gamma_1 )\Pr(\Gamma_1) + \Pr(C < x\ |\ \Gamma_2 )\Pr(\Gamma_2) \\ & = \Pr(A < x)\Pr(\Gamma_1) + \Pr(B < x)\Pr(\Gamma_2)\\ & = \gamma F_A(x) + (1 - \gamma) F_B(x). \end{array}$$

Portanto,

$$\begin{array}{rl} f_C(x) \!\!\!\! & = \frac{d}{dx} F_C(x)\\ & = \frac{d}{dx}(\gamma F_A(x) + (1 - \gamma) F_B(x)) \\ & = \gamma\left(\frac{d}{dx} F_A(x)\right) + (1 - \gamma) \left(\frac{d}{dx}F_B(x)\right) \\ & = \gamma f_A(x) + (1 - \gamma) f_B(x), \end{array}$$

e como$\gamma = 0.5,$

$$f_C(x) = 0.5 f_A(x) + 0.5 f_B(x).$$

Além disso, como o PDF de uma distribuição normal é uma função gaussiana positiva e a soma de duas funções gaussianas possíveis é uma função gaussiana positiva se e somente se as duas funções gaussianas forem linearmente dependentes, é normalmente distribuído se e somente se e são distribuídos de forma idêntica.$C$$A$$B$

Se e são distribuídos de forma idêntica, , então também será distribuído de forma idêntica.$A$$B$$f_A(x) = f_B(x) = f_C(x)$$C$