Distribuição da soma dos exponenciais

Seja e sejam variáveis ​​aleatórias exponenciais independentes e identicamente distribuídas com rate . Deixe .$X_1$$X_2$$\lambda$$S_2 = X_1 + X_2$

P: Mostre que possui PDF .$S_2$$f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x},\, x\ge 0$

Observe que se os eventos ocorrerem de acordo com um processo de Poisson (PP) com taxa , representará a hora do segundo evento.$\lambda$$S_2$

Abordagens alternativas são apreciadas. As abordagens fornecidas são comumente usadas ao aprender a teoria das filas e os processos estocásticos.

Lembre-se de que a distribuição exponencial é um caso especial da distribuição gama (com o parâmetro de forma $1$ ). Eu aprendi que há uma versão mais geral disso aqui que pode ser aplicada.

Condição da abordagem de
condicionamento no valor de $X_1$ . Comece com a função de distribuição cumulativa (CDF) para $S_2$ .

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= \int_0^\infty P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)f_{X_1}(x_1)dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_2 \le x - x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x\left(1-\text{e}^{-\lambda(x-x_1)}\right)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1\\ &=(1-e^{-\lambda x}) - \lambda x e^{-\lambda x}\end{align}$

Este é o CDF da distribuição. Para obter o PDF, diferencie em relação a $x$ ( veja aqui ).

Esta é uma distribuição Erlang $(2,\lambda)$ (veja aqui) .

Abordagem geral
Integração direta confiando na independência de $X_1$ e $X_2$ . Novamente, inicie com a função de distribuição cumulativa (CDF) para $S_2$ .

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= P\left( (X_1,X_2)\in A \right) \quad \quad \text{(See figure below)}\\ &= \int\int_{(x_1,x_2)\in A} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)dx_1 dx_2 \\ &(\text{Joint distribution is the product of marginals by independence}) \\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_1 dx_2\\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} \lambda \text{e}^{-\lambda x_1}\lambda \text{e}^{-\lambda x_2}dx_1 dx_2\\ \end{align}$

Como esse é o CDF, a diferenciação fornece o PDF, $f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square$

Abordagem MGF
Esta abordagem usa a função de geração de momento (MGF).

$\begin{align} M_{S_2}(t) &= \text{E}\left[\text{e}^{t S_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t(X_1 + X_2)}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1 + t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1} \text{e}^{t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1}\right]\text{E}\left[\text{e}^{t X_2}\right] \quad \text{(by independence)} \\ &= M_{X_1}(t)M_{X_2}(t) \\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right) \quad \quad t<\lambda\\ &= \frac{\lambda^2}{(\lambda-t)^2} \quad \quad t<\lambda \end{align}$