Distribuição da soma dos exponenciais

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Seja e sejam variáveis ​​aleatórias exponenciais independentes e identicamente distribuídas com rate . Deixe .X1X2λS2=X1+X2

P: Mostre que possui PDF .S2fS2(x)=λ2xe-λx,x0 0

Observe que se os eventos ocorrerem de acordo com um processo de Poisson (PP) com taxa , representará a hora do segundo evento.λS2

Abordagens alternativas são apreciadas. As abordagens fornecidas são comumente usadas ao aprender a teoria das filas e os processos estocásticos.


Lembre-se de que a distribuição exponencial é um caso especial da distribuição gama (com o parâmetro de forma 1 ). Eu aprendi que há uma versão mais geral disso aqui que pode ser aplicada.

SecretAgentMan
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1
Esta questão é um caso muito especial (e um dos exemplos mais simples possíveis) de uma soma de distribuições Gamma. (O exponencial é uma distribuição gama com um parâmetro de forma de ) Portanto, você pode aplicar qualquer uma das respostas em stats.stackexchange.com/questions/72479 . 1
whuber
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Obrigado. Eu não conhecia essa pergunta mais geral , embora soubesse que o Exponencial é uma distribuição Gamma com um parâmetro de forma igual a 1. Espero que você concorde que este Q / A esteja bem como está e não deve ser excluído. Essa é uma pergunta muito frequente em algumas disciplinas de engenharia e certamente é mais acessível do que ir diretamente para adicionar distribuições Gamma.
SecretAgentMan
@whuber Atualizei a questão mencionar especificamente a questão mais geral. Obrigado.
SecretAgentMan
1
Pelas razões expostas, e porque você ofereceu um relato claro das soluções que funcionam especificamente nesse caso, não votei em encerrá-lo como uma duplicata.
whuber
1
Penso que a votação da sua pergunta e a sua resposta indicaram claramente o que a comunidade pensa desta discussão. :-)
whuber

Respostas:

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Condição da abordagem de
condicionamento no valor de X1 . Comece com a função de distribuição cumulativa (CDF) para S2 .

FS2(x)=P(S2x)=P(X1+X2x)=0P(X1+X2x|X1=x1)fX1(x1)dx1=0xP(X1+X2x|X1=x1)λeλx1dx1=0xP(X2xx1)λeλx1dx1=0 0x(1-e-λ(x-x1))λe-λx1dx1=(1-e-λx)-λxe-λx

Este é o CDF da distribuição. Para obter o PDF, diferencie em relação a x ( veja aqui ).

fS2(x)=λ2xe-λx

Esta é uma distribuição Erlang (2,λ) (veja aqui) .


Abordagem geral
Integração direta confiando na independência de X1 e X2 . Novamente, inicie com a função de distribuição cumulativa (CDF) para S2 .

FS2(x)=P(S2x)=P(X1+X2x)=P((X1,X2)UMA)(Veja a figura abaixo)=(x1,x2)UMAfX1,X2(x1,x2)dx1dx2(A distribuição conjunta é o produto dos marginais pela independência)=0 0x0 0x-x2fX1(x1)fX2(x2)dx1dx2=0 0x0 0x-x2λe-λx1λe-λx2dx1dx2

Como esse é o CDF, a diferenciação fornece o PDF, fS2(x)=λ2xe-λx Figura


Abordagem MGF
Esta abordagem usa a função de geração de momento (MGF).

MS2(t)=E[etS2]=E[et(X1+X2)]=E[etX1+tX2]=E[etX1etX2]=E[etX1]E[etX2](por independência)=MX1(t)MX2(t)=(λλ-t)(λλ-t)t<λ=λ2(λ-t)2t<λ

SecretAgentMan
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Você escreveu a pergunta e a resposta. Qual é o seu ponto, se posso perguntar?
Xi'an
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@ Xi'an, pensei que o SE encorajasse a fazer a pergunta e a respondesse ... Posso capturar onde o SE parece encorajar isso para você, se quiser. Eu já vi muitas perguntas básicas repetidas vezes e estive pensando em postar algumas abordagens específicas para encaminhar as pessoas. Não consegui encontrar algo assim e posso indicar pessoas para uma variedade de coisas. Se a comunidade CV realmente odeia esse post, eu o excluirei voluntariamente.
SecretAgentMan 15/10
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@ Xi'an, respeitosamente, acredito que vocês dois fizeram e responderam uma pergunta aqui .
SecretAgentMan 15/10
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@ Xian Você pode ler stats.stackexchange.com/help/self-answer
Sycorax diz Reinstate Monica
Eu não tenho karma suficiente para comentar, mas acho que esse é um comentário que vale a pena, então eu posto aqui. Para a Abordagem geral, você pode mostrar as etapas (ou fornecer uma prova) que vão da integral dupla à expressão final. Eu me dediquei e recebi a mesma resposta que o wolfram. [Link to Wolfram Answer] ( wolframalpha.com/input/… * +% 5Clambda + * + e% 5E (-% 5Clambda + h)% 22 & suposição =% 7B% 22F% 22, +% 22DoubleIntegral% 22, +% 22intvariable1% 22% 7D + -% 3E% 22g% 22 & suposição =% 7B% 22F% 22, +% 22DoubleI
Avedis