Probabilidade de

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Suponha que e são variáveis ​​aleatórias geométricas independentes com o parâmetro . Qual é a probabilidade de ?X1 1X2pX1 1X2

Estou confuso com esta pergunta porque não nos disseram nada sobre o e o que não sejam geométricos. Isso não seria porque e podem estar no intervalo?X1 1X250.%X1 1X2

EDIT: nova tentativa

P(X1 1X2)=P(X1 1>X2)+P(X1 1=X2)

P(X1 1=X2)x ( 1 - p ) x - 1 p ( 1 - p ) x - 1 p p = =x (1 1-p)x-1 1p(1 1-p)x-1 1pp2-p

P(X1 1>X2) = eP(X1 1<X2)P(X1 1<X2)+P(X1 1>X2)+P(X1 1=X2)=1 1

Portanto, = = Adicionando para isso, recebo =P(X1 1>X2)1 1-P(X1 1=X2)21 1-p2-p
P(X1 1=X2)=p2-pP(X1 1X2)1 12-p

Isso está correto?

IrCa
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Por favor, adicione a tag 'auto-estudo'.
StubbornAtom
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Na verdade, porque X1e X2são variáveis ​​discretas, a igualdade torna as coisas um pouco menos óbvias.
usεr11852

Respostas:

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Não pode ser 50.% porque P(X1 1=X2)>0 0

Uma abordagem:

Considere os três eventos P(X1 1>X2),P(X2>X1 1) eP(X1 1=X2) , que particionam o espaço de amostra.

Há uma conexão óbvia entre os dois primeiros. Escreva uma expressão para a terceira e simplifique. Daí resolver a questão.

Glen_b -Reinstate Monica
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Eu editei, meu post com minha nova resposta. Você poderia dar uma olhada e ver se está correto?
IrCa 24/02/19
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Sim, suas respostas parecem corretas. Um método alternativo (usando uma idéia semelhante) seria observar que P(X1 1X2)=1 12+1 12P(X1 1=X2) (novamente, explorando a simetria / permutabilidade de e X 2 ). X1 1X2
Glen_b -Reinstala Monica
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Sua resposta, seguindo a sugestão de Glen, está correta. Outra maneira, menos elegante, é apenas condicionar:

Pr{X1 1X2}=k=0 0Pr{X1 1X2X2=k}Pr{X2=k}=k=0 0=kPr{X1 1=}Pr{X2=k}.

Isso fornecerá o mesmo 1 1/(2-p) , após o manuseio das duas séries geométricas. O caminho de Glen é melhor.

zen
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nota: seu caminho é melhor para aplicar a novos problemas, eu acho. Porque é baseado nos primeiros princípios. O truque / intuição da resposta de glen_b geralmente vem depois que o problema foi resolvido do seu jeito
probabilityislogic
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@probabilityislogic Compartilho seu entusiasmo pelas derivações dos "primeiros princípios". No entanto, para um matemático moderno, procurar e explorar simetria é ainda mais fundamental do que os primeiros princípios (definições) aos quais você se refere: podemos chamá-lo de um metaprincípio da matemática. É muito mais que um mero "truque".
whuber