Densidade de Y = log (X) para X distribuído por gama

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Suponha que eu tenha uma variável aleatória e defina . Eu gostaria de encontrar a função densidade de probabilidade de .$X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$$Y = \log(X)$$Y$

Eu originalmente pensava que definiria apenas a função de distribuição cumulativa X, faria uma alteração na variável e levaria o "interior" da integral como minha densidade, assim,

$$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$$

Aqui eu uso e , em seguida, sub nas definições para e em termos de .$y = \log x$$dy = \frac{1}{x} dx$$x$$dx$$y$

Infelizmente, a saída não se integra ao 1. Não tenho certeza de onde está o meu erro. Alguns poderiam me dizer onde está o meu erro?

Escreva as densidades com os indicadores para ter uma imagem clara.

Se , então $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

$$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$$

Se , com inverso , então e o CDF é obtido a partir da definição $Y=g(X)=\log X$$X=h(Y)=e^Y$

$$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$$ $$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$$