Qual é a diferença entre GARCH e ARMA?

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Estou confuso. Eu não entendo a diferença de um processo ARMA e GARCH .. para mim há o mesmo não?

Aqui está o processo (G) ARCH (p, q)

σt2=α0+i=1qαirti2ARCH+i=1pβiσti2GARCH

E aqui está o ARMA ( ):p,q

Xt=c+εt+i=1pφiXti+i=1qθiεti.

O ARMA é simplesmente uma extensão do GARCH, GARCH sendo usado apenas para retornos e com a suposição que segue um forte processo branco?εr=σεε

John
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Além da resposta da fg nu, o processo de variação no GARCH varia no tempo. No entanto, há um truque aqui é que, dada uma série temporal de retorno de log do SP500, para obter o processo de volatilidade, o que devemos fazer? Algumas pessoas dizem que precisamos usar o modelo ARMA para retirar as séries residuais e depois conectá-las ao modelo GARCH para obter o processo de variação condicional. Ou conecte diretamente o retorno de log, conecte o processo de retorno de log do SP500 ao modelo GARCH para obter a variação condicional?

Respostas:

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Você está confundindo os recursos de um processo com sua representação. Considere o processo (de retorno) .(Yt)t=0

  • Um modelo ARMA (p, q) especifica a média condicional do processo como

Ittσ(Yt)

E(YtIt)=α0+j=1pαjYtj+k=1qβkϵtk
Aqui, é a informação definida no tempo , que é a álgebra gerada pelos valores defasados ​​do processo de resultado .Ittσ(Yt)
  • O modelo GARCH (r, s) especifica a variação condicional do processo
    V(YtIt)=V(ϵtIt)σt2=δ0+l=1rδjσtl2+m=1sγkϵtm2

Observe em particular a primeira equivalência .V(YtIt)=V(ϵtIt)

Além : Com base nessa representação, você pode escrever onde é um processo forte de ruído branco, mas isso decorre da maneira como o processo é definido.Z t

ϵtσtZt
Zt
  • Os dois modelos (para a média condicional e a variação) são perfeitamente compatíveis entre si, na medida em que a média do processo pode ser modelada como ARMA e as variações como GARCH. Isso leva à especificação completa de um modelo ARMA (p, q) -GARCH (r, s) para o processo, como na representação a seguir
    Yt=α0+j=1pαjYtj+k=1qβkϵtk+ϵtE(ϵtIt)=0,tV(ϵtIt)=δ0+l=1rδlσtl2+m=1sγmϵtm2t
tchakravarty
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Você não deveria estar condicionando as informações no tempo se todos os regressores estiverem atrasados? t1
Jase
@Jase Observe a definição: "Aqui, é a informação definida no tempo , que é a álgebra gerada pelos valores defasados do processo de resultado ". Ou seja, . Alguns autores escrevem isso como mas isso é contrário à noção de uma informação definida no tempo . tσ( Y t ) I t =σ( Y t - 1 , Y t - 2,) I t - 1 tIttσ(Yt)It=σ(Yt1,Yt2,)It1t
Tchakravarty
Agradável! Você sabe por que usamos a álgebra sigma e não uma filtragem?
Jase
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@Jase, a sequência de conjuntos de informações constitui uma filtragem . (It)t=0
Tchakravarty
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Editar: percebi que a resposta estava faltando e, portanto, forneci uma resposta mais precisa (veja abaixo - ou talvez acima). Eu editei este por erros factuais e estou deixando para o registro.


Parâmetros de foco diferentes:

  • ARMA é um modelo para a realização de um processo estocástico que impõe uma estrutura específica da média condicional do processo.
  • GARCH é um modelo para a realização de um processo estocástico que impõe uma estrutura específica da variação condicional do processo.

Modelo estocástico versus determinístico:

  • ARMA é um modelo estocástico no sentido de que a variável dependente - as realizações do processo estocástico - é especificada como uma soma de uma função determinística da variável dependente com atraso e erro do modelo com atraso (a média condicional) e um termo de erro estocástico.
  • GARCH é um modelo determinístico no sentido de que a variável dependente - a variação condicional do processo - é uma função puramente determinística das variáveis ​​atrasadas.
Richard Hardy
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A variação condicional do processo GARCH é determinística no sentido definido, mas o processo GARCH não é, uma vez que e são independentes de defasagens de . rt=σtεtεtt
Mvctas
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@mpiktas, True. Se o modelo GARCH contiver duas equações, uma para média condicional (um exemplo do qual você escreveu acima) e outra para variação condicional (que é intuitivamente, embora não matematicamente, "a principal equação" do modelo), meu argumento se aplica apenas para a última equação.
Richard Hardy
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ARMA

Considere que segue um processo ARMA ( ). Suponha, por simplicidade, que tenha média zero e variação constante. Condicionalmente nas informações , pode ser particionado em uma parte conhecida (predeterminada) (que é a média condicional de dada ) e uma parte aleatória :ytp,qIt1ytμtytIt1ut

yt=μt+ut;μt=φ1yt1++φpytp+θ1ut1++θqutq  (known, predetermined);ut|It1 D(0,σ2)  (random)

onde é alguma densidade.D

A média condicional segue um processo semelhante ao ARMA ( ), mas sem o termo de erro contemporâneo aleatório: que ; para ; e para . Observe que esse processo tem ordem ( ) em vez de ( ), como .μtp,q

μt=φ1μt1++φpμtp+(φ1+θ1)ut1++(φm+θm)utm,
m:=max(p,q)φi=0i>pθj=0j>qp,mp,qyt

Também podemos escrever a distribuição condicional de em termos de suas médias condicionais passadas (em vez de valores realizados passados) e parâmetros de modelo comoyt

ytD(μt,σt2);μt=φ1μt1++φpμtp+(φ1+θ1)ut1++(φm+θm)utm;σt2=σ2,

Esta última representação facilita a comparação entre ARMA e GARCH e ARMA-GARCH.

GARCH

Considere que segue um processo GARCH ( ). Suponha, por simplicidade, que tenha média constante. Entãoyts,r

ytD(μt,σt2);μt=μ;σt2=ω+α1ut12++αsuts2+β1σt12++βrσtr2;utσti.i.D(0,1),

onde e é alguma densidade.ut:=ytμtD

A variância condicional segue um processo semelhante ao ARMA ( ), mas sem o termo de erro contemporâneo aleatório.σt2s,r

ARMA-GARCH

Considere que possui zero médio incondicional e segue um processo ARMA ( ) -GARCH ( ). Entãoytp,qs,r

ytD(μt,σt2);μt=φ1μt1++φpμtp+(φ1+θ1)ut1++(φm+θm)utm;σt2=ω+α1ut12++αsuts2+β1σt12++βrσtr2;utσti.i.D(0,1),

onde ; é alguma densidade, por exemplo, Normal; para ; e para . D φ i = 0 i > p θ j = 0 j > qut:=ytμtDφi=0i>pθj=0j>q


O processo de média condicional devido ao ARMA tem essencialmente a mesma forma que o processo de variação condicional devido a GARCH, apenas as ordens de atraso podem diferir (permitindo uma média incondicional diferente de zero de não deve alterar esse resultado significativamente). É importante ressaltar que nenhum dos termos de erro aleatório já foi condicionado em ; portanto, ambos são predeterminados.eu t - 1ytIt1

Richard Hardy
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Os processos ARMA e GARCH são muito semelhantes em sua apresentação. A linha divisória entre os dois é muito fina, pois obtemos GARCH quando um processo ARMA é assumido para a variação de erro.

user36853
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