O que há de errado com a minha prova da Lei da Variação Total?

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De acordo com a Lei da variância total,

Var(X)=E(Var(XY))+Var(E(XY))

Ao tentar provar isso, escrevo

Var(X)=E(XEX)2=E{E[(XEX)2Y]}=E(Var(XY))

O que há de errado com isso?

nalzok
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Respostas:

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A terceira linha está errada, porque você não tem E[X|Y] na segunda linha. Por exemplo, se Y for Bernoulli (1/2) e X for 1 se Y for 1 e -1 se Y for 0, então E[(XE[X|Y])2|Y]=0 (é isso que você deseja) porque é totalmente informativo sobre , mas o que você tem lhe daráYXE[(XE[X])2|Y]=E[(X0)2|Y]=E[X2|Y]=10 .

Não vou mentir, você me fez questionar a mim mesmo e eu tive que encarar isso um pouco antes que me atingisse, mesmo tendo que provar LOTV para mim mesmo um bilhão de vezes: P

Sheridan Grant
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A transição da segunda para a terceira linha não segue. Desde você tem:E(X)E(X|Y)

E[(XE(X))2|Y]E[(XE(X|Y))2|Y]=E[V(X|Y)].

No caso especial em que para todos os seu trabalho e resultado permaneceriam válidos e seria um caso especial de o resultado mais geral.E(X)=E(X|Y=y)yR

Ben - Restabelecer Monica
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Var(X)=E(XEX)2=E(E[(XEX)2Y])E(E[(XE(XY))2]Y)=E(Var(XY))

Michael Hardy
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