Como encontrar a distribuição marginal da distribuição conjunta com dependência multivariável?

Um dos problemas no meu livro é apresentado da seguinte maneira. Um vetor contínuo estocástico bidimensional tem a seguinte função de densidade:

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Mostre que as funções de densidade marginal e são: $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

Eu entendo como a função de densidade é calculada, integrando de a em relação a . No entanto, estou totalmente perdido em , de onde vem o ? Se eu integrar de a em relação a , apenas recebo , e por que o intervalo é ? $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

Eu representei graficamente o suporte para $X,Y$ , todos os valores em que $f_{X,Y}>0$ são coloridos em azul:

O suporte para $ X, Y $

self-study random-variable marginal joint-distribution soren.qvist
fonte

Pode ajudá-lo a desenhar o suporte de (que é o conjunto de para o qual ). Isso deve responder imediatamente a algumas de suas perguntas.

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

whuber

@whuber Ok, então eu tenho representado graficamente o suporte e acho que entendo por que é 0 <y <1, é porque x é definido apenas em 0 <x <1 e, como 0 <y <x, então naturalmente temos que y é apenas definido de 0 a 1, correto? Mas ainda não entendo a parte (1-y ^ 2).

usar o seguinte comando

Dica: A densidade marginal de é a integral de que, para um valor fixo de , , é diferente de zero apenas para aqueles satisfazem . Ou seja, e é aí que parte vem.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

usar o seguinte código

Obrigado pela dica Dilip, eu tenho medo de não entender completamente. ".. para um valor fixo de , , é diferente de zero apenas para aqueles satisfazendo ." Você está se referindo à área azul no gráfico?

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

precisa saber é o seguinte

@ soren.qvist Sim. Estou me referindo à área azul no gráfico. é a integral (área sob a curva) de uma função de que tem valor se estiver entre e (a área azul) e caso contrário. Repita o para outros valores fixos de e observe que sempre que o valor numérico de o mesmo número que o obtido pela "inserção" do valor escolhido de na expressão

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ conforme indicado na sua folha de respostas. Então, vem o "Hey Ma, acho que vejo um padrão!" momento e você percebe que é igual à integral mostrada.

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

precisa saber é o seguinte

Como você apontou corretamente na sua pergunta, é calculada integrando a densidade da junta, em relação a X. A parte crítica aqui é identificar a área em que você integrar. Você já mostrou claramente graficamente o suporte da função de distribuição conjunta . Portanto, agora, você pode observar que o intervalo de na região sombreada é de a (ou seja, graficamente, você pode visualizar linhas horizontais, paralelas ao eixo x, indo da linha diagonal para a linha vertical em ). $f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

Assim, os limites inferior e superior da integração vão ser e . Portanto, a solução para o problema é a seguinte: $X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

user3487564
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