Propriedades do padrão bivariado normal e probabilidade condicional implícita no modelo de Roy

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Desculpe pelo título longo, mas meu problema é bastante específico e difícil de explicar em um título.

Atualmente, estou aprendendo sobre o Modelo Roy (análise de efeito do tratamento).

Há uma etapa de derivação nos meus slides, que eu não entendo.

Calculamos o resultado esperado com o tratamento no grupo de tratamento (manequim D é tratamento ou não tratamento). Isto está escrito como

E[Y1|D=1]

como isso pode ser reescrito como E [ Y 1 | D = 1 ]Y1=μ1+você1 antes de dizermos também, que D=1seY1>Y0, é o seguinte:

E[Y1|D=1]=E[μ1+você1|D=1]=μ1+E[você1|D=1]
D=1Y1>Y0 0

Y1-Y0 0>0 0

μ1+U1(μ0U0)>0

(μ1+U1)/σ(μ0U0)/σ>0

Zϵ>0

então se ϵ < ZD=1ϵ<Z

Portanto, sustenta que

E[Y1|D=1]=μ1+E[U1|ϵ<Z]

Sabe-se ainda que

[U1U0ϵ]=N([000],[σ12σ10σ1ϵσ10σ02σ0ϵσ1ϵσ0ϵσϵ2])

portanto, segue: P(D=1)=P(ϵ<Z)=Φ(Z)

Então agora vem a minha pergunta, dizem os slides, que E eu não entendo por que?

μ1-E[você1|ϵ<Z]=μ1-σ1ϵϕ(Z)Φ(Z)

Eu sei que se duas variáveis ​​aleatórias seguem uma distribuição normal bivariada padrão: E[você1|você2)=ρvocê2

então E[você1|você2>c)=E[ρvocê2|você2>c]=ρE[você2|você2>c)=ρϕ(c)1-Φ(c)

Portanto, eu teria esperado um "mais" e não um sinal de menos? Também por isso usamos a covariância e não a correlação ρ ? Então, eu esperava algo comoσ1ϵρ

μ1-E[você1|ϵ<Z]=μ1+ρϕ(Z)Φ(Z)

Estou ciente do fato de que, se eu fizer o truncamento acima do se tornará Φ ( c ) .1-Φ(c)Φ(c)

Ivanov
fonte

Respostas:

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Primeiro, no modelo de Roy, é normalizado como 1 por motivos de identificação (cf. Cameron e Trivedi: Microeconometrics: métodos e aplicações). Vou manter essa normalização daqui em diante. Para responder sua pergunta, vamos mostrar E ( U 1ε < Z ) = - σ 1 ε ϕ ( Z )σε21 primeiro. Aqui estãoϕeΦos pdf e cdf de uma distribuição normal padrão, respectivamente. Observe que E(U1ε<Z)

E(você1ε<Z)=-σ1εϕ(Z)Φ(Z)
ϕΦ pela lei da expectativa iterado. O vetor ( U 1 , ε ) é um normal bivariado commédia
E(você1ε<Z)=E(E(você1ε)ε<Z)
(você1,ε)(0 0,0 0)e matriz de covariância A média condicionalE(U1|ε)=σ1εε (note que covariância não correlação surge aqui porqueσ 2 ε =1). Assim, E(L1|ε<Z)=σ1εE(ε|ε<Z). A função de densidade deεε<Zé f
[σ12σ1ϵ1].
E(você1ε)=σ1εεσε2=1
E(você1ε<Z)=σ1εE(εε<Z).
εε<Z A média condicionalE(εε<Z) é E(εε<Z)
f(εε<Z)={ϕ(ε)Φ(Z),-<ε<Z;0 0,εZ.
E(εε<Z)
E(εε<Z)=-Ztϕ(t)Φ(Z)dt=1Φ(Z)-Zt12πexp(-12t2)dt=-1Φ(Z)-Zt{12πexp(-12t2)}dt=-1Φ(Z)(ϕ(Z)-ϕ(-)).
Observe como o sinal negativo sai. Portanto,E(εε<Z)=-ϕ(Z)/Φ(Z)e a conclusão a seguir.
semibruína
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Tentei conceder-lhe a recompensa, mas diz: "Você pode conceder sua recompensa em 18 horas". Lembra-me, se eu esquecer :-)
Stat Tistician
Obrigado pelo seu prêmio, e fico feliz que a publicação ajude.
Semibruin