Propriedades do padrão bivariado normal e probabilidade condicional implícita no modelo de Roy

Desculpe pelo título longo, mas meu problema é bastante específico e difícil de explicar em um título.

Atualmente, estou aprendendo sobre o Modelo Roy (análise de efeito do tratamento).

Há uma etapa de derivação nos meus slides, que eu não entendo.

Calculamos o resultado esperado com o tratamento no grupo de tratamento (manequim D é tratamento ou não tratamento). Isto está escrito como

$$\begin{align} E[Y_1|D=1] \end{align}$$

como isso pode ser reescrito como E [ Y 1 | D = 1 $Y_1=\mu_1 + U_1$ antes de dizermos também, que D=1seY1>Y0, é o seguinte:

$$\begin{align} E[Y_1|D=1] &= E[\mu_1+U_1|D=1]\\ &=\mu_1+ E[U_1|D=1] \end{align}$$ $D=1$$Y_1>Y_0$

$Y_1-Y_0>0$

$\mu_1+U_1-(\mu_0-U_0)>0$

$(\mu_1+U_1)/\sigma-(\mu_0-U_0)/ \sigma >0$

$Z-\epsilon>0$

então se ϵ < $D=1$$\epsilon<Z$

Portanto, sustenta que

$$\begin{align} E[Y_1|D=1] &=\mu_1 + E[U_1|\epsilon<Z] \end{align}$$

Sabe-se ainda que

$$\begin{align} \begin{bmatrix} U_1 \\ U_0 \\ \epsilon \end{bmatrix}=N\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{10} & \sigma_{1\epsilon} \\ \sigma_{10} & \sigma_{0}^2 & \sigma_{0\epsilon} \\ \sigma_{1\epsilon} & \sigma_{0\epsilon} & \sigma_{\epsilon}^2 \end{bmatrix}\right) \end{align}$$

portanto, segue: $P(D=1)=P(\epsilon<Z)=\Phi(Z)$

Então agora vem a minha pergunta, dizem os slides, que E eu não entendo por que?

$$\begin{align} \mu_1 - E[U_1|\epsilon<Z] =\mu_1 - \sigma_{1\epsilon} \frac{\phi(Z)}{\Phi(Z)} \end{align}$$

Eu sei que se duas variáveis ​​aleatórias seguem uma distribuição normal bivariada padrão: $E[u_1|u_2)=\rho u_2$

então $E[u_1|u_2>c)=E[\rho u_2|u_2>c]=\rho E[u_2|u_2>c)=\rho\frac{\phi(c)}{1-\Phi(c)}$

Portanto, eu teria esperado um "mais" e não um sinal de menos? Também por isso usamos a covariância e não a correlação ρ ? Então, eu esperava algo como$\sigma_{1\epsilon}$$\rho$

$$\begin{align} \mu_1 - E[U_1|\epsilon<Z] =\mu_1 + \rho \frac{\phi(Z)}{\Phi(Z)} \end{align}$$

Estou ciente do fato de que, se eu fizer o truncamento acima do se tornará Φ ( c ) .$1-\Phi(c)$$\Phi(c)$

Primeiro, no modelo de Roy, é normalizado como 1 por motivos de identificação (cf. Cameron e Trivedi: Microeconometrics: métodos e aplicações). Vou manter essa normalização daqui em diante. Para responder sua pergunta, vamos mostrar E ( U 1 ∣ ε < Z ) = - σ 1 ε ϕ ( Z $\sigma_{\varepsilon}^{2}$$1$ primeiro. Aqui estãoϕeΦos pdf e cdf de uma distribuição normal padrão, respectivamente. Observe que E(U1∣ε<Z

$$\mathrm{{E}}\left(U_{1}\mid\varepsilon<Z\right)=-\sigma_{1\varepsilon}\frac{\phi\left(Z\right)}{\Phi\left(Z\right)}$$ $\phi$$\Phi$ pela lei da expectativa iterado. O vetor ( U 1 , ε ) é um normal bivariado commédia $$\mathrm{E}\left(U_{1}\mid\varepsilon<Z\right)=\mathrm{E}\left(\mathrm{E}\left(U_{1}\mid\varepsilon\right)\mid\varepsilon<Z\right)$$ $\left(U_{1},\varepsilon\right)$$\left(0,0\right)'$e matriz de covariância A média condicionalE(U1|ε)=σ1εε (note que covariância não correlação surge aqui porqueσ 2 ε =1). Assim, E(L1|ε<Z)=σ1εE(ε|ε<Z). A função de densidade deε∣ε<Zé $$\left[\begin{array}{cc} \sigma_{1}^{2} & \sigma_{1\epsilon}\\ & 1 \end{array}\right].$$ $\mathrm{{E}}\left(U_{1}\mid\varepsilon\right)=\sigma_{1\varepsilon}\varepsilon$$\sigma_{\varepsilon}^{2}=1$ $$\mathrm{E}\left(U_{1}\mid\varepsilon<Z\right)=\sigma_{1\varepsilon}\mathrm{E}\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right).$$ $\varepsilon\mid\varepsilon<Z$ A média condicionalE(ε∣ε<Z) é E(ε∣ε<Z $$f\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right)=\begin{cases} \frac{\phi\left(\varepsilon\right)}{\Phi\left(Z\right)}, & -\infty<\varepsilon<Z;\\ 0, & \varepsilon\geq Z. \end{cases}$$ $\mathrm{E}\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right)$ $$\begin{eqnarray*} \mathrm{E}\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right) & = & \int_{-\infty}^{Z}t\frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(Z\right)}\,\mathrm{{d}}t\\ & = & \frac{1}{\Phi\left(Z\right)}\int_{-\infty}^{Z}t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}t^{2}\right)\,\mathrm{{d}}t\\ & = & -\frac{1}{\Phi\left(Z\right)}\int_{-\infty}^{Z}\frac{\partial}{\partial t}\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}t^{2}\right)\right\} \,\mathrm{{d}}t\\ & = & -\frac{1}{\Phi\left(Z\right)}\left(\phi\left(Z\right)-\phi\left(-\infty\right)\right). \end{eqnarray*}$$ Observe como o sinal negativo sai. Portanto,$\mathrm{E}\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right)=-\phi\left(Z\right)/\Phi\left(Z\right)$e a conclusão a seguir.