Considere
Eu preciso mostrar que, mesmo que isso tenha momentos infinitos,
Tentei mostrar isso usando o Teorema da Continuidade de Levy, ou seja, tentei mostrar que a função característica do lado esquerdo converge para a função característica do padrão normal. No entanto, isso parecia impossível de mostrar.
Uma dica fornecida para esse problema era truncar cada , ou seja, deixando e usando a condição Lindeberg para mostrar que .
No entanto, não consegui demonstrar que a condição de Lyapunov está satisfeita. Isso ocorre principalmente porque não se comporta como eu gostaria. Eu gostaria que apenas os valores -1 e 1; no entanto, da maneira como é construído, ele pode assumir os valores
probability
self-study
central-limit-theorem
moments
asymptotics
Greenparker
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Respostas:
Aqui está uma resposta baseada no comentário do @ cardinal:
Seja o espaço de amostra o caminho dos processos estocásticos e , onde deixamos . A condição de Lindeberg (conforme a notação da Wikipedia ) é satisfeita, pois: para qualquer como sempre que ( Y i ) ∞ i = 0 Y i = X i 1 { X i ≤ 1 } 1( XEu)∞i = 0 ( YEu)∞i = 0 Yi=Xi1{Xi≤1} εs 2 n →∞n→∞.
Temos também que por Borel-Cantelli desde modo que . Dito de forma diferente, e diferem apenas finitamente, quase com quase certeza.P ( X i ≠ Y i ) = 2 - i Σ ∞ i = 0 P ( X i ≠ Y i ) = 2 < ∞ X i Y iP(Xi≠Yi,i.o.)=0 P(Xi≠Yi)=2−i ∑∞i=0P(Xi≠Yi)=2<∞ Xi Yi
Defina e equivalentemente para . Escolha um caminho de amostra de modo que apenas para muitos finitos . Indexe esses termos por . Exija também desse caminho que sejam finitos. Para esse caminho, que . Além disso, para grandes o suficiente , S Y , n ( X i ) ∞ i = 1 X i > 1 i J X j , j ∈ J S JSX,n=∑ni=0Xi SY,n (Xi)∞i=1 Xi>1 i J Xj,j∈J SJ:=Σj∈JXjNSX,n-SY,n=SJ.
Usando o resultado de Borel-Cantelli junto com o fato de que é quase certamente finito, vemos que a probabilidade de um caminho de amostra obedecer aos nossos requisitos é uma. Em outras palavras, os termos diferentes chegam a zero quase certamente. Temos, portanto, pelo teorema de Slutsky, que, para números grandes o suficiente , onde . n 1Xi n ξ~N(0,1)
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