Exemplo de CLT quando momentos não existem

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ConsidereXn={1w.p. (12n)/21w.p. (12n)/22kw.p. 2k for k>n

Eu preciso mostrar que, mesmo que isso tenha momentos infinitos,

n(X¯n)dN(0,1)

Tentei mostrar isso usando o Teorema da Continuidade de Levy, ou seja, tentei mostrar que a função característica do lado esquerdo converge para a função característica do padrão normal. No entanto, isso parecia impossível de mostrar.

Uma dica fornecida para esse problema era truncar cada , ou seja, deixando e usando a condição Lindeberg para mostrar que .XiYni=XiI{Xin}nY¯ndN(0,1)

No entanto, não consegui demonstrar que a condição de Lyapunov está satisfeita. Isso ocorre principalmente porque não se comporta como eu gostaria. Eu gostaria que apenas os valores -1 e 1; no entanto, da maneira como é construído, ele pode assumir os valoresYniYni1,1,2i+1,2i+2,,2log2n

Greenparker
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Se você estiver truncando em , verifique cuidadosamente o último parágrafo quanto aos valores que a variável truncada pode assumir. De qualquer forma, tente truncar em , use Borel-Cantelli e Slutsky para obter o resultado. Você deve poder usar Lindeberg ou Lyapunov na peça truncada (embora eu não tenha verificado isso). 1n1
cardeal
Me desculpe por isso. Mudou para "infinitas" momentos
Greenparker
@cardinal Examinei os possíveis valores que pode assumir novamente e adicionei um mínimo ao termo do log. Caso contrário, os valores parecem corretos. Se eu truncar em 1, obtenho os valores desejados para e poderei aplicar a condição de Lindeberg para obter convergência ao normal. No entanto, não vejo como isso implicará convergência ao normal para o Y n i YniYninX¯n
Greenparker 9/14
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O que é " "? Você não descreveu um contexto no qual existem amostras ou várias instâncias de cada , de onde - dado o que está indicado na pergunta - sobre a única leitura possível dessa notação é que ela se refere à média de , que é sempre infinito e é um número, não uma distribuição. Portanto, temos que imaginar que você está contemplando amostras de de , mas você precisa nos dizer isso e precisa estipular quais são os tamanhos das amostras. XnXnXnX¯nXnXnXn
whuber

Respostas:

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Aqui está uma resposta baseada no comentário do @ cardinal:

Seja o espaço de amostra o caminho dos processos estocásticos e , onde deixamos . A condição de Lindeberg (conforme a notação da Wikipedia ) é satisfeita, pois: para qualquer como sempre que ( Y i ) i = 0 Y i = X i 1 { X i1 } 1(Xi)i=0(Yi)i=0Yi=Xi1{Xi1}εs 2 nn.

1sn2i=0nE(Yi21{|Yi|>ϵsn2})1sn2i=0nP(|Yi|>ϵsn2)0,
ϵsn2n.

Temos também que por Borel-Cantelli desde modo que . Dito de forma diferente, e diferem apenas finitamente, quase com quase certeza.P ( X iY i ) = 2 - i Σ i = 0 P ( X iY i ) = 2 < X i Y iP(XiYi,i.o.)=0P(XiYi)=2ii=0P(XiYi)=2<XiYi

Defina e equivalentemente para . Escolha um caminho de amostra de modo que apenas para muitos finitos . Indexe esses termos por . Exija também desse caminho que sejam finitos. Para esse caminho, que . Além disso, para grandes o suficiente , S Y , n ( X i ) i = 1 X i > 1 i J X j , j J S JSX,n=i=0nXiSY,n(Xi)i=1Xi>1iJXj,jJSJ:=ΣjJXjNSX,n-SY,n=SJ.

SJn0, as n
SJ:=jJXjn
SX,nSY,n=SJ.

Usando o resultado de Borel-Cantelli junto com o fato de que é quase certamente finito, vemos que a probabilidade de um caminho de amostra obedecer aos nossos requisitos é uma. Em outras palavras, os termos diferentes chegam a zero quase certamente. Temos, portanto, pelo teorema de Slutsky, que, para números grandes o suficiente , onde . n 1Xinξ~N(0,1)

1nSX,n=SY,n+SJndξ+0,
ξN(0,1)
ekvall
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