Na verdade, o bispo e o cavaleiro não são tão escorregadios quanto parecem. Eu verifiquei isso em um programa de tabela que escrevi. Em um tabuleiro de 10x10, o lado do bispo e do cavaleiro (por exemplo, branco) pode forçar o companheiro a realizar no máximo 47 movimentos. O branco pode até forçar o mate em um tabuleiro de 16x16, com no máximo 93 movimentos. Eu acredito que o companheiro pode ser forçado em uma placa arbitrariamente grande e de tamanho uniforme.
Primeiro, em um quadro de tamanho estranho, confirmei que o branco não pode forçar o companheiro se o bispo estiver na cor errada. O companheiro só pode ser forçado em um bom canto (aquele que o bispo controla); portanto, se não houver bons cantos, o companheiro não pode ser forçado.
Na placa 10x10, o seguinte é um companheiro ideal em 47. A posição inicial é W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2. 1.Bb2 Kb3 2.Ba3 Kc2 3.Ka2 Kd3 4.Kb3 Ke4 5.Rc4 Ke5 6.Bg9 Rf4 7.Rd5 Rf5 8.Be7 Rf4 9.Re6 Rg4 10.Re5 Rf3 11.Rf5 Rg2 12.Rg4 Rf2 13. Rf4 Rg2 14.Nd2 Kh1 15.Rg3 Ri2 16.Nf3 Ri1 17.Rh3 R1 18.Bf6 Ri1 19.Nh2 Rh20.Bj2 Rg1 21.Ng4 Rf1 22.Rg3 Ke2 23.Nf2 Rd2 24.Bf6 R3 25.Bg7 Rd2 26.Rf4 Rc2 27.Re4 Rd2 28.Bd4 Ke1 29.Nh1 Rf1 30.Rf3 Ke1 31.Be3 Rd1 32.Rd4 Rc2 33.Rd4 Rd1 34.Rd3 R1 35.Ng3 Rd1 36.Bc5 Reex 37.Bd4 Rd1 38. Bc3 Rc1 39.Nf5 Rd1 40.Ne3 Rc1 41.Rc4 Kb1 42.Rb3 Rc1 43.Be1 Kb1 44.Bd2 Ka1 45.Nc2 + Kb1 46.Na3 + Ka1 47.Bc3 #
Após 23. Nf2, temos uma posição exatamente como a mostrada na resposta de Andrew (mas de cabeça para baixo: W: Kg3, Bj2, Nf2; B: Ke2). Se fizermos este quadro 8x8 removendo as colunas a e b (e linhas 9 e 10), seria mate em 14, mas aqui é mate em 25. Na linha ideal acima, o rei preto nunca tenta escapar em direção a a esquina a10. Digamos que sim, com 23. ... Rd2 24. Bf6 Rc2 . Esse movimento diminui o companheiro em um movimento, com a continuação 25.Rf3 Kb3 26.Re4 Ka4 27.Rd5 Kb5 28.Bd4 Ka4 29.Rc4 Ka5 30.Rc5 Ka6 31.Rc6 .
O rei preto só pode escapar até a6 e, no final, ainda está preso no bom canto a1. O restante desta continuação é 31. ... Ka5 32.Nd3 Ka4 33.Kc5 Ka5 34.Nb4 Ka4 35.Kc4 Ka5 36.Be3 Ka4 37.Bb6 Ka3 38.Nd3 Ka4 39.Nb2 Ka3 40.Kc3 Ka2 41. Kc2 Ka3 42.Ba5 Ka2 43.Bb4 Ka1 44.Nd3 + Ka2 45.Nc1 + Ka1 46.Bc3 #
Aqui está o número de movimentos para forçar o acasalamento em todas as pranchas de 4 a 16. 4: 15; 6: 22; 8: 33; 10: 47; 12: 64; 14: 78; 16: 93. Observe que, em qualquer quadro de qualquer tamanho, existem várias posições sorteadas porque o preto pode ganhar uma peça imediatamente.
A seguir, um par ideal em 92 em uma placa de 16x16. A posição inicial é novamente W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2.1.Bb2 Kb3 2.Bi9 Ka4 3.Rb2 Kb5 4.Rc3 Rc6 5.Rd4 Rd7 6.Re5 Ke8 7.Rf6 Rf8 8.Rg6 Rg8 9.Bg11 Rf9 10.Rh7 Ke10 11.Rg8 Rf11 12.Bi9Re10 13. Kh9 Rd11 14.Rg10 Ree10 15.Rg10 Rc9 16.Rf9 Rc10 17.Re10 Rc11 18.Re11 Rc12 19.Nd2 Rd13 20.Ne4 R714 21.Nf6 Rf13 22.Rf11 R714 23.R12 Rd15 24.Rd13 R716 25.R14 Rd16 26.Nd7 Rc16 27.Ne9 Kb15 28.Rd15 Kb14 29.Bf10 + Kb15 30.Nd11 Ka16 31.Nc13 Kb16 32.Rd16 Ka15 33.Kc15 Ka16 34.Kc16 Ka15 35.Na12 + Ka16 36.Nb14 Ka15 37.Nd13 Ka14 38. Nc11 Ka13 39.Bc13 Ka14 40.Kc15 Ka13 41.Kc14 Ka14 42.Bd12 Ka13 43.Na10 Ka12 44.Kc13 Kb11 45.Nb12 Ka12 46.Kc12 Ka13 47.Be11 Ka12 48.Bf12 Ka13 49.Bc15 Ka12 50.Nd11 Ka11 51.Bf12 Ka12 52.Nc13 Ka11 53.Kc11 Ka10 54.Nd11 Ka9 55.Nb10 Kb9 56.Kb11 Ka9 57.Kc10 Ka10 58.Bg13 Ka11 59.Be15 Ka10 60.Nd9 Ka9 61.Bh12 Ka10 62.Nc11 + Ka9 63. Rc9 Ka8 64.Nd9 Kb7 65.Nb8 Ka7 66.Rc8 Ka8 67.Bg11 Ka9 68.Be13 + Ka8 69.Nd7 Ka7 70.Bh10 Ka8 71.Nc9 Ka7 72.Rc7 Ka6 73.Rc6 Ka7 74.Bd6 Ka6 75.Bc5 Ka5 76.Ne8 Ka4 77.Rd5 Kb3 78.Rd4 Rc2 79.Bb4 Kb3 80.Rc5 Ka2 81.Rc4 Kb1 82.Rc3 Rc1 83.Nd6 Rc1 84.Rd3 Rc1 85.Nc4 Rc1 86.Ba5 Rc1 87.Bd2 Kb1 88.Rc3 Ka2 89.Rc2 Ka1 90.Rb3 Kb1 91.Na3 + Ka1 92.Bc3 #
É longo, mas jogar com isso definitivamente me ajudou a me convencer de que o branco poderia forçar o companheiro em um tabuleiro arbitrariamente grande. Na primeira fase, o rei e o bispo brancos podem encurralar o rei preto enquanto compram tempi para o cavaleiro branco alcançar. Quando o rei negro fica preso no canto ruim (a16 neste caso), ele é arrastado para baixo do arquivo-a com muito pouco espaço para respirar. Embora o procedimento seja significativamente mais complicado do que uma manobra W, o branco parece estar sempre sob controle total.
Obviamente, há muitas vitórias forçadas em todos os quadros onde M e N são pelo menos 8 (incluindo M ou N ou ambos infinitos), desde que haja um canto da mesma cor que a praça do bispo.
Se todas as peças estiverem na sub-tábua de cor amarela e o rei preto não puder escapar do triângulo d10-j4-j10, a posição também será ganha na prancha completa, porque essas posições podem ser (otimamente) vencidas nessa sub-placa embarque sem deixar o rei preto escapar do triângulo. Da mesma forma para a sub-placa verde. O mesmo se aplica a uma placa MxN.
Mas as posições conquistadas não se restringem de maneira alguma a essas posições. Na posição mostrada, por exemplo, as brancas podem realizar no máximo 33 jogadas contra qualquer defesa das pretas. Obviamente, existe uma porcentagem significativa de posições semelhantes.
Não há necessariamente vitórias forçadas se M e ou N são muito pequenos. Por exemplo, não há posições de xeque-mate em um quadro 1xN.
A rigor, também existe um número relativamente pequeno de vitórias forçadas em quadros (suficientemente grandes, isto é, M, N> 2, M + N> 6) que não incluem nenhum canto da mesma cor que a praça do bispo, mas incluem um canto do cor oposta. Isso inclui a placa 7x7 com cantos coloridos "errados" sobre os quais você pergunta. Isso também é possível em um canto "errado" de qualquer quadro que inclua esse canto. Por exemplo, em uma placa 8x8:
1.Ng6 + Kg8 2.Bd5 #
Não há vitórias em um quadro que não inclua cantos, ou seja, onde um ou ambos os lados se estendem indefinidamente nas duas direções.
Existem posições sorteadas em qualquer tamanho de quadro (este é o caso geral em quadros que não têm canto da mesma cor que o quadrado do bispo e em quadros onde um ou os dois de M e N são muito pequenos e, creio, em quadros) onde M e N são grandes), um exemplo em uma placa 8x8:
1 ... Kf3 etc.
As posições sorteadas são a exceção no quadro padrão (menos de 10% de todas as posições, de acordo com o Nalimov EGTB).
Mas acredito que em um tabuleiro de 10x10 também existem empates por repetição, onde o rei solitário não pode forçar a captura de uma peça, mas o lado com as peças também não pode forçar o companheiro. Penso que este se torna o caso geral para M e N grandes, como obviamente é para M e N ímpares com o bispo de cor "errado".
Desde que o quadro contenha um canto da mesma cor do quadrado do bispo e M ou N permaneça com 8 ou menos (mas não seja muito pequeno), o companheiro ainda será forçado geralmente por grandes valores finitos do outro e (de maneira irrelevante) em tantas posições quanto não para um valor infinito do outro.
Editar:
Depois de ler o post de DanStronger, acho que meus comentários sobre empates por repetição em quadros maiores são errôneos. Estes foram baseados em uma análise de 45 anos que eu fiz quando aprendi a tocar o final (cujos detalhes agora são nebulosos), mas estou inclinado a pensar que a análise foi falha. Nesse caso, a porcentagem de empates deve realmente diminuir à medida que o tamanho do tabuleiro aumenta.
fonte
Acho que a maior distinção que podemos fazer aqui é quantos movimentos serão necessários para acasalar o rei. Há muitas evidências acima que provam que é possível acasalar em um tabuleiro quase infinitamente crescente (supondo que ele permaneça um quadrado não retangular (pelo que não faço ideia)). Em um torneio, há uma regra de 50 movimentos para evitar desnecessariamente longos jogos É possível combinar com esse cenário em um tabuleiro 8x8 dentro dos limites de 50 movimentos, mas com pouco espaço para erro. Quanto maior o tabuleiro, mais espaço você precisa para encurralar o rei no canto, o que resulta em mais de 90 companheiros de movimento.
Para resumir, desde que o quadro seja quadrado (Comprimento = Largura), um KBN vs K mate é possível. Não sei responder se o quadro é retangular, alguém pode responder se quiserem ou você pode editar sua pergunta!
fonte