Com que rapidez podemos calcular o poset de inclusão de uma família de conjuntos?

Dada uma família conjunto de subconjuntos de um universo . Deixe e queremos responder é .$\mathcal{F}$$U$$S_1,S_2 \in \mathcal F$$S_1 \subseteq S_2$

Estou procurando uma estrutura de dados que me permita responder rapidamente a isso. Minha aplicação é da teoria dos grafos, onde eu quero ver se a exclusão de um vértice e sua vizinhança deixa algum vértice isolado e, para cada vértice, lista todos os vértices isolados que ele deixa.

Eu quero criar o poset completo ou, eventualmente, uma tabela armazenando true false false exatamente quais conjuntos são subconjuntos um do outro.$|\mathcal{F}|^2$

Seja,e, suponha$m = \sum_{S\in \mathcal{F}} |S|$$u = |U|$$n = |\mathcal{F}|$$u,n \leq m$

Podemos gerar a matriz de contenção (o gráfico bipartido) em tempo e, em seguida, criar a tabela de todas as comparações em tempo para cada conjunto , percorrer todos os elementos de todos os outros conjuntos e marcar o conjunto como não um subconjunto de se que o elemento não é em . No tempo total de .$n \times u$$O(un)$$n^2$$O(nm)$$S \in \mathcal{F}$$S$$S$$O(nm)$

Podemos fazer algo mais rápido? Em particular, o tempo possível ou não?$O((n+u)^2)$

Encontrei alguns artigos relacionados:

Algoritmo Sub-Quadrático Simples para Computar a Ordem Parcial do Subconjunto (1995) que fornece um algoritmo .$O(m^2 / log(m))$

A Ordem Parcial do Subconjunto: Computação e Combinatória melhora um pouco o exposto acima, mas também afirma que o artigo acima resolve o problema no tempo que é o número máximo de conjuntos que compartilham um elemento comum, mas não consegui entender esse resultado.$O(md)$$d$

No artigo Entre eO ( n α$O(nm)$$O(n^{\alpha})$ os autores mostram como, em um gráfico, encontrar os componentes conectados após excluir a vizinhança fechada de um vértice usando multiplicação de matrizes. Isso pode ser usado para calcular o poset de inclusão de conjunto localizando todos os componentes que são singletons com um tempo de execução de .$O((n+u)^{2.79})$

Também esta discussão no fórum está relacionada: Qual é a maneira mais rápida de verificar a inclusão de conjuntos? o que implica um limite inferior de .$O(n^{2-\epsilon})$

Se a aleatoriedade estiver dentro dos limites, uma idéia aproximada seria gerar várias funções de "assinatura monotônica aleatória" e usá-las para aproximar a relação do subconjunto (a la Bloom filtra). Infelizmente, não sei como transformar isso em um algoritmo prático, mas aqui estão algumas estimativas que não provam imediatamente a idéia impossível. Isso está muito longe de ser uma solução útil, mas vou escrevê-la caso isso ajude.

Suponha, por simplicidade, que os conjuntos tenham quase o mesmo tamanho, digamos , e esse . Podemos assumir , caso contrário, terminamos. Definir Observe que .s = o ( u ) 1 ≪ s $|S| = s \pm O(1)$$s = o(u)$$1 \ll s$p≫

$$\begin{aligned} q &= [s/2] \\ p &= \left[\frac{u \choose q}{s \choose q}\right] \end{aligned}$$ $p \gg 1$

Aqui está a parte impraticável. Escolha aleatoriamente subconjuntos com substituição, cada um do tamanho , e defina uma função por se para alguns . Com fixo e variando aleatoriamente, temos Como é monotônico, implica$p$$A_1, \ldots, A_p \subset U$$q$$f : 2^U \to \{0,1\}$$f(S) = 1$$A_i \subset S$$i$$S$$A_i,f$ f(S)S⊂Tf(S)≤f(T)T⊄St∈T-SfT⊄S Pr ( f ( S ) = 0 < 1 = f ( T )

$$\begin{aligned} \Pr(f(S) = 0) &= \Pr(\forall i. A_i \not\subset S) \\ &= \Pr(A_1 \not\subset S)^p \\ &= \left(1 - {s \choose q}/{u \choose q}\right)^p \\ &= e^{-\Theta(1)} \end{aligned}$$ $f(S)$$S \subset T$$f(S) \le f(T)$ . Se , corrija alguns . A probabilidade de que detecta é $T \not\subset S$$t \in T-S$$f$$T \not\subset S$ $$\begin{aligned} \Pr(f(S) = 0 < 1 = f(T)) &= \Pr(f(S) = 0) \Pr(f(T) = 1 | f(S) = 0) \\ &= e^{-\Theta(1)} \Pr(\exists i. A_i \subset T, A_i \cap T-S \ne 0 | f(S) = 0) \\ &= e^{-\Theta(1)} \Pr(\exists i. t \in A_i \subset T | f(S) = 0) \\ &\le e^{-\Theta(1)} \Pr(\exists i. t \in A_i \subset T) \\ &\approx e^{-\Theta(1)} p \Pr(t \in A_1 \subset T) \\ &\le e^{-\Theta(1)} p {s \choose q-1} / {u \choose q} \\ &\approx e^{-\Theta(1)} p \frac{q}{s-q} {s \choose q} / {u \choose q} \\ &= e^{-\Theta(1)} \end{aligned}$$ Alguns desses passos são bastante tênues, mas não tenho tempo para melhorá-los hoje à noite. De qualquer forma, se todos eles são válidos, pelo menos não é claramente impossível gerar aleatoriamente funções de assinatura com probabilidade razoável de distinguir subconjuntos de não-subconjuntos. Um número logarítmico de tais funções distinguiria todos os pares corretamente. Se a geração de uma função de assinatura e a computação pudessem ser reduzidas para o tempo , o resultado seria um algoritmo geral .$f$$f(S)$$\tilde{O}(n+u)$$\tilde{O}(n^2+u^2)$

Mesmo se os cálculos acima estiverem corretos, não faço ideia de como gerar rapidamente funções de assinatura monotônica com os recursos desejados. Também é provável que essa técnica não se estenda a tamanhos de conjuntos significativamente diferentes.