Considere o problema clássico # P-complete # 3SAT, ou seja, contar o número de avaliações para tornar um 3CNF com variáveis satisfatórias. Estou interessado na aproximação aditiva . Claramente, existe um algoritmo trivial para atingir o erro 2 n - 1 , mas se k < 2 n - 1 , é possível ter um algoritmo de aproximação eficiente, ou esse problema também é # P-difícil?
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Respostas:
Estamos interessados em aproximações aditivas ao # 3SAT. ou seja, dado um 3CNF em n variáveis, conte o número de atribuições satisfatórias (chame a ) de até o erro aditivo k .ϕ n a k
Aqui estão alguns resultados básicos para isso:
Caso 1:k=2n−1−poly(n)
Aqui existe um algoritmo determinístico de politempo: Seja . Agora avalie ϕ em m entradas arbitrárias (por exemplo, as primeiras m lexicograficamente ). Suponha ℓ desses insumos satisfazer φ . Então, sabemos a ≥ ℓ, pois há pelo menos ℓ tarefas satisfatórias e a ≤ 2 n - ( m - ℓ )m=2n−2k=poly(n) ϕ m m ℓ ϕ a≥ℓ ℓ a≤2n−(m−ℓ) como existem pelo menos tarefas insatisfatórias. A duração deste intervalo é 2 n - ( m - ℓ ) - ℓ = 2 k . Portanto, se emitirmos o ponto médio 2 n - 1 - m / 2 + ℓ, isso está dentro de k da resposta correta, conforme necessário.m−ℓ 2n−(m−ℓ)−ℓ=2k 2n−1−m/2+ℓ k
Caso 2:k=2n/poly(n)
Aqui temos um algoritmo aleatório de politempo: Avalie em m pontos aleatórios X 1 , ⋯ , X m ∈ { 0 , 1 } n . Seja α = 1ϕ m X1,⋯,Xm∈{0,1}n eε=k/2n. Nós produzimos2n⋅α. Para que isso tenha erro no máximok, precisamos dek≥| 2nα-a| =2n| α-a/2n| ,que é equivalente a| α-a/2nα=1m∑mi=1ϕ(Xi) ε=k/2n 2n⋅α k
Caso 3: para c < 1k=2cn+o(n) c<1
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Aqui está uma referência a Bordewich, Freedman, Lovász e Welsh que desenvolve esse tópico até certo ponto.
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